Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
Schreibt man f statt in der Form (6.17) als Linearkombination der normierten
Basisfunktionen (6.19), also in der Form
f(t) = ξ′ 0
√ + ξ′ 1
√ cos(t) + ξ′′ 1
√ sin(t) + · · · +
2π π π
+ ξ′m
√ π
cos(mt) + ξ′′m
√ π
sin(mt) , (6.20)
so lassen sich die Koeffizienten analog zur Formel ξ k = 〈β k , x〉 aus (6.16)
bestimmen: zum Beispiel ist für k = 1, . . . , m
ξ ′ k = 1 √ π
〈cos(kt), f(t)〉 = 1 √ π
∫ 2π
0
f(t) cos(kt) dt .
Da ξ ′ k /√ π = α k ist und sich β k analog berechnen lässt, folgt schliesslich
für die Koeffizienten in (6.17):
α k = 1 π
∫ 2π
0
f(t) cos(kt) dt ,
β k = 1 π
∫ 2π
0
f(t) sin(kt) dt , (6.21)
wobei die erste Formel auch für α 0 gilt.
Ist V = E n und {b 1 , . . . , b n } eine orthonormierte Basis, so schreibt
man (6.16) vorzugweise wieder so, dass die Skalare auf der rechten
Seite der Vektoren stehen. Auf Grund der Regeln der Matrizenrechnung
gilt dann für jedes x ∈ E n
x =
n∑
b k (b H k x) =
k=1
n∑ ( n∑
b k b H k x = b k b H k
k=1
k=1
)
x . (6.22)
Damit ergibt sich folgende additive Zerlegung der Einheitsmatrix
in eine Summe von Rang-1–Matrizen
n∑
b k b H k = I n . (6.23)
k=1
Sie bedeutet, dass die Identität als Summe von Projektionen auf
die Koordinatenachsen dargestellt werden kann.
In Vektorräumen mit Orthonormalbasis sind die Vektoren gleich
lang wie die entsprechenden Koordinatenvektoren. Laut der folgenden
Parsevalschen Formel 4 gilt allgemeiner das Analoge für die
Skalarprodukte in V und E n :
4 Marc-Antoine de Parseval des Chêsnes (27.4.1755 – 16.8.1836),
französischer Mathematiker, in Kontakt mit Fourier, Poisson, Bessel; Royalist.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-7