Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Definition: Die Länge [length] oder 2–Norm [2–norm] oder
Euklidische Norm [Euclidean norm] eines Vektors x ∈ E n ist die
nichtnegative reelle Zahl ‖x‖ definiert durch
‖x‖ :≡ √ 〈x, x〉 . (2.49)
Man beachte, dass nach Eigenschaft (S2) gilt 〈x, x〉 ≥ 0, weshalb
die Wurzel wohldefiniert ist.
Nach (2.48) gilt im reellen Fall
und nach (2.47) im komplexen Fall
‖x‖ = √ ∑
x T x = √ n x 2 k
(2.50)
k=1
‖x‖ = √ ∑
x H x = √ n |x k | 2 . (2.51)
k=1
Dass diese Norm (2.49) die übliche Länge eines Vektors liefert, folgt
durch rekursives Anwenden des Satzes von Pythagoras auf Paare
von Vektoren der Form
(
x1 . . . x k 0 . . . 0 ) T
,
(
0 . . . 0 xk+1 0 . . . 0 ) T
.
Um die Länge eines komplexen Vektors z = x + i y ∈ C n geometrisch
zu interpretieren, kann man diesen als Vektor im R 2n auffassen,
denn es ist ja |z k | 2 = x 2 k + y2 k .
Beispiele 2.17: Es ist für x := ( 1 2 2 ) T
‖x‖ 2 = 〈x, x〉 = 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9 ,
also ‖x‖ = √ 〈x, x〉 = √ 9 = 3. Für den komplexen Vektoren
erhalten wir
z =
⎛
⎜
⎝
i
3 + 4 i
5 + 12 i
8 + 15 i
‖z‖ 2 = 1 2 +(3 2 +4 2 )+(5 2 +12 2 )+(8 2 +15 2 ) = 1+25+169+289 = 484 ,
⎞
⎟
⎠
also ‖z‖ = √ 484 = 22.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-19