Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
mit der j–ten Kolonne der Matrix B multipliziert, wobei man die
Zeile als Zeilenvektor (d.h. 1 × n–Matrix) auffasst und die Kolonne
als Kolonnenvektor (d.h. m × 1–Matrix).
Beispiele 2.9: Der Zeilenvektor ( 1 2 3 ) kann mit einem Kolonnenvektor
mit drei Komponenten multipliziert werden; der erste ist eine
1 × 3–Matrix, der zweite eine 3 × 1–Matrix. Das Produkt ist also eine
1 × 1–Matrix:
⎛
(
1 2
)
3 ⎝
7
−8
9
⎞
⎠ = ( 18 ) ,
wobei das Resultat aus 1 · 7 + 2 · (−8) + 3 · 9 = 7 − 16 + 27 = 18 folgt.
Wir kommen später auf solche Produkte eines Zeilenvektors mit einem
Spaltenvektor zurück. Wir werden in Zukunft eine 1×1–Matrix als Zahl
(Skalar) auffassen und das obige Resultat einfach als 18 schreiben statt
(
18
)
.
Die 2 × 3–Matrix A und die 3 × 4–Matrix B seien gegeben als
A =
( 1 2 3
4 5 6
⎛
)
, B = ⎝
Ihr Produkt ist dann die 2 × 4–Matrix
AB =
( 18 −14 1 −2
42 −32 4 −5
7 −1 1 0
−8 −2 0 −1
9 −3 0 0
)
.
⎞
⎠ .
Dabei ergibt sich zum Beispiel das (2, 1)–Element 42 gemäss
a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 = 4 · 7 + 5 · (−8) + 6 · 9
= 28 − 40 + 54
= 42 .
Bemerkung: Der tiefere Grund für die etwas komplizierte Art
das Matrixprodukt zu definieren, wird später ersichtlich werden,
wenn wir lineare Abbildungen mit Hilfe von Matrizen beschreiben.
Die Matrizen-Multiplikation entspricht dann dem Zusammensetzen
von linearen Abbildungen, und das Matrix-Vektor-Produkt erlaubt,
Bildpunkte auszurechnen.
Aus den Definitionen der drei eingeführten Matrizenoperationen
lassen sich leicht eine ganze Reihe von Eigenschaften dieser Operationen
herleiten, von denen die wichtigsten nachfolgend aufgeführt
sind. Wir können sie auch als “Regeln” bezeichnen, betonen aber,
dass wir diese herleiten können und nicht voraussetzen müssen.
LA-Skript 2-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht