Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 7 — Kleinste Quadrate, QR
wobei wir benutzt haben, dass r auf den Kolonnen von Q senkrecht
steht, wie das aus der bekannten, in Satz 7.7 beschriebenen Eigenschaft
der Minimallösung folgt.
Die Lösung eines Kleinste-Quadrate-Problems durch QR–Zerlegung
der Matrix A ist weniger mit Rundungsfehlern behaftet als die
Lösung via die Normalgleichungen, und zwar vor allem, wenn die
Kolonnen von A beinahe linear abhängig sind. Allerdings ist dann
auch das klassische Gram–Schmidt–Verfahren nicht sehr exakt. Aber
es gibt daneben weitere, numerisch stabilere Methoden zur QR–
Zerlegung einer Matrix.
Beispiel 7.5: Wir wollen zuerst das Beispiel 7.3 abschliessen. Den
Formeln (7.12) aus Beispiel 7.1 entnehmen wir, dass A aus (7.7) die
QR–Faktorisierung
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4 6 4 1
⎜ 2 −2
⎟
⎝ 2 6 ⎠ = 1 ( )
⎜ 2 −2
⎟ 5 5
5 ⎝ 2 2 ⎠ 0 10
1 −7 1 −4
} {{ }
} {{ } } {{ } R
A
Q
hat, und aus Beispiel 7.3 kennen wir schon Q T y = ( 27/5 −51/5 ) T =
(
5.4 −10.2
) T. Zu lösen bleibt also das System Rx = Q T y, konkret
x 1 x 2 1
5 5 5.4
0 10 −10.2
das x 1 = 2.10, x 2 = −1.02 ergibt, was wir in (7.25) schon aus den
Normalgleichungen erhalten haben.
Beispiel 7.6: Im Beispiel 7.4 erhält man, gerundet auf vier Stellen
nach dem Komma, aus dem Gram–Schmidt–Verfahren
⎛ ⎞ ⎛
⎞
1 1 0.1826 −0.5133
( )
⎜ 2 4
⎟
⎝ 3 9 ⎠ = ⎜ 0.3651 −0.5866
⎟ 5.4772 18.2574
⎝ 0.5477 −0.2200 ⎠
,
0 4.5461
4 16 0.7303 0.5866
} {{ }
} {{ } } {{ } R
A
Q
⎛ ⎞
( )
13.0
( )
0.1826 0.3651 0.5477 0.7303
⎜ 35.5
⎟ 133.2792
−0.5133 −0.5866 −0.2200 0.5866 ⎝ 68.0 ⎠ =
,
22.3637
} {{ }
110.5
} {{ }
Q T
} {{ } Q T y
y
also für das System Rx = Q T y
x 1 x 2 1
5.4772 18.2574 133.2792
0 4.5461 22.3637
was wie in Beispiel 7.4 wieder x 1 = 7.9355, x 2 = 4.9194 liefert.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 7-11