Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
Dividiert man dies unter der Annahme x ≠ o durch ‖x‖ X und nimmt
man das Supremum über alle x ≠ o, folgt die Behauptung.
Für quadratische Matrizen, wo X = Y = Z := E n , wird der Begriff
“Matrixnorm” nun allgemein wie folgt definiert:
Definition:
Eine Matrixnorm [matrix norm] ist eine Funktion
‖.‖ : E n×n → R , A ↦→ ‖A‖ (6.73)
mit den (an die Situation angepassten) Eigenschaften (OpN1)–
(OpN4). Gilt zusätzlich analog zu (OpN5)
‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖ für alle A ∈ E n×n , x ∈ E n , (6.74)
so heisst die Matrixnorm kompatibel [compatible] mit der in E n
verwendeten Vektornorm (die nicht die 2–Norm sein muss).
Hier ist ein Beispiel einer Matrixnorm, die einfacher zu berechnen
ist als die Spektralnorm:
Beispiel 6.13:
Die Frobenius–Norm ist definiert durch
∑
‖A‖ F :≡ √ n n∑
|a kl | 2 . (6.75)
k=1 l=1
Man müsste natürlich beweisen, dass die Axiome (OpN1)–(OpN4) erfüllt
sind. Wir wollen hier nur zeigen, dass diese Matrixnorm kompatibel
ist mit der 2–Norm (als Vektornorm im E n ). Wir wenden dazu die
Schwarzsche Ungleichung(2.52) für k = 1, . . . , n an auf den Zeilenvektor
(
ak1 · · · a kn
)
und einen n–Vektor x:
(
n∑ n∑
) 2
‖Ax‖ 2 2 = a kl x l
k=1 l=1
⎛
n∑ n∑ n∑
≤ ⎝ a 2 kl ·
k=1
l=1
n∑ n∑
= x 2 j ·
j=1
= ‖x‖ 2 2 ‖A‖ 2 F .
j=1
k=1
( n∑
l=1
x 2 j
a 2 kl
⎞
⎠
)
Die Genauigkeit, mit der man ein reguläres Gleichungssystem Ax =
b auf einem Computer mit Gleitkomma–Arithmetik lösen kann,
hängt ab vom Produkt ‖A‖ ∞ ‖A −1 ‖ ∞ , worin ‖A‖ ∞ die von der
Vektornorm ‖.‖ ∞ aus (2.60) induzierte Operatornorm bezeichnet.
In anderen Situationen spielt das Produkt ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ 2 eine wichtige
Rolle für die erreichbare Genauigkeit einer Rechnung. Man definiert
deshalb:
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-23