Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
6.3 Orthonormalbasen
Sobald die Orthogonalität von Vektoren definiert ist, kann man
wie im R 3 orthogonale Basen, d.h. orthogonale Koordinatensysteme
verwenden. Wir überlegen uns in diesem Abschnitt, dass solche
Vorteile haben und immer konstruiert werden können. Insbesondere
sind die Koordinaten bezüglich einer orthogonalen Basis besonders
einfach zu berechnen.
Satz 6.3 Eine Menge M von paarweise orthogonalen Vektoren ist
linear unabhängig, falls o /∈ M.
Beweis:
gelte
Annahme: Es seien x 1 , . . . , x m ∈ M, γ 1 , . . . , γ m ∈ E, und es
m∑
γ k x k = o .
k=1
Auf Grund der Linearität des Skalarproduktes gilt für j = 1, . . . , m:
〈 m∑ 〉 m∑
0 = x j , γ k x k = γ k 〈x j , x k 〉 = γ j 〈x j , x j 〉 ,
} {{ }
k=1
k=1
0, falls k ≠ j
also ist γ j = 0, weil 〈x j , x j 〉 > 0.
Ist dim V = n, so ergeben n paarweise orthogonale, von 0 verschiedene
Vektoren somit eine Basis von V .
Definition: Eine Basis heisst orthogonal[orthogonal], falls die
Basisvektoren paarweise orthogonal sind:
〈b k , b l 〉 = 0 falls k ≠ l .
Sie heisst orthonormiert oder orthonormal 3 [orthonormal], wenn
zusätzlich die Basisvektoren die Länge 1 haben, d.h. wenn
〈b k , b k 〉 = 1 (∀k) .
Mit dem Kronecker-Symbol [Kronecker symbol], definiert durch
{ 0, falls k ≠ l ,
δ kl :≡
1, falls k = l ,
gilt für eine orthonormierte Basis also: 〈b k , b l 〉 = δ kl .
Satz 6.4 Ist V ein n–dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt
und {b 1 , . . . , b n } eine Orthonormalbasis, so gilt für alle x ∈ V
n∑
x = 〈b k , x〉 b
} {{ } k . (6.16)
k=1
≡: ξ k
Das heisst für die Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis
gilt einfach ξ k = 〈b k , x〉.
3 Man beachte, dass eine orthogonale Matrix orthonormale Kolonnen hat
und quadratisch ist. Ist die Matrix nicht quadratisch (d.h. ist m > n), so sagt
man es sei eine Matrix mit orthonormalen Kolonnen; sind diese nicht normiert,
so spricht man von einer Matrix mit orthogonalen Kolonnen.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-5