Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
Korollar 9.18 Zerlegen wir die Matrizen V und V −1 aus (9.36)
entsprechend den Blöcken von J in vertikale bzw. horizontale Streifen,
V =
⎛
⎞
⎝ V 1 · · · V µ
⎠ , V −1 =
⎛
⎜
⎝
W T 1
.
W T µ
⎞
⎟
⎠ (9.39)
(so dass V k ein n × m k –Block und W k ein n × m k –Block ist),
so lässt sich A wie folgt als Summe von µ Matrizen des Ranges
m k (k = 1, . . . , µ) darstellen:
A =
µ∑
V k J k Wk T . (9.40)
k=1
Beweis: Man schreibt J als Summe von µ block-diagonalen n × n
Matrizen, wobei in der k–ten nur gerade der Block J k steht, während
die anderen durch Nullblöcke ersetzt sind. Setzt man diese Summen und
die Aufteilungen aus (9.39) in A = VJV −1 ein, folgt die Behauptung
sofort.
Während (9.25) in Korollar 9.10 eine additive Zerlegung einer diagonaliserbaren
Matrix A in eine Summe von n Rang-1–Matrizen
war, ist die Eigenwertzerlegung im allgemeinen Fall gemäss (9.40)
eine additive Zerlegung in eine Summe von µ Termen, die in der
Regel verschiedene Ränge m k haben.
Beispiel 9.13: Die der Matrix J aus (9.35) entsprechende Zerlegung
(9.40) einer Matrix A = VJV −1 lautet in der Notation von Korollar
9.18:
⎛ ⎞
5 1 0
A = V 1
⎝ 0 5 1 ⎠ W1 T ( ) ( )
+ V 2 5 W
T
2 + V 3 5 W
T
3
wobei
0 0 5
+ V 4
( 3 1
0 3
)
W T 4 + V 5
(
1
)
W
T
5 + V 6
( 0 1
0 0
)
W T 6 ,
V 1 = ( v 1 v 2 v 3
)
, V2 = ( v 4
)
, V3 = ( v 5
)
,
V 4 = ( )
v 6 v 7 , V5 = ( )
v 8 , V6 = ( )
v 9 v 10 ,
⎛
w T ⎞
W1 T 1
= ⎝ w2
T ⎠ , W T
w3
T 2 = ( w4
T )
, W
T
3 = ( w5
T )
,
W T 4 =
( w
T
6
w T 7
)
, W T 5 = ( w T 8
(
)
, W
T w
T
6 = 9
w T 10
)
.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-21