Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 8 — Determinanten
Beweis:
Eigenschaft (i) folgt sofort aus
∑
p∈S n
(sign p) a 1,p(1) · · · (γa l,p(l) + γ ′ a ′ l,p(l) ) · · · a n,p(n)
= γ ∑
p∈S n
(sign p) a 1,p(1) · · · a l,p(l) · · · a n,p(n)
+ γ ′ ∑
p∈S n
(sign p) a 1,p(1) · · · a ′ l,p(l) · · · a n,p(n) .
Eigenschaft (ii) ergibt sich daraus, dass eine Zeilenvertauschung in A
in der Formel (8.6) dadurch kompensiert werden kann, dass man jede
Permutation p mit der Transposition verknüpft, die dieser Zeilenvertauschung
entspricht. Dadurch ändert sich aber gerade das Signum jedes
Termes, während die Produkte unverändert bleiben.
Eigenschaft (iii) folgt als einfacher Spezialfall von Beispiel 8.4 über die
Determinante von Dreiecksmatrizen.
Wir ziehen direkt aus den Eigenschaften (i)–(iii) weitere Schlüsse,
die zum Teil auch leicht aus der Definition (8.6) gefolgert werden
könnten. Es lassen sich in der Tat die meisten weiteren theoretischen
Resultate in diesem Kapitel ableiten, wenn man vom Postulat eines
eindeutigen Funktionals mit diesen drei Eigenschaften ausgeht.
Satz 8.4 Das Funktional det hat folgende weitere Eigenschaften:
iv) Hat A eine Zeile aus lauter Nullen, so ist det A = 0.
v) det (γA) = γ n det A.
vi) Hat A zwei gleiche Zeilen, so ist det A = 0.
vii) Addiert man zu einer Zeile von A ein Vielfaches einer anderen
Zeile von A, so ändert sich der Wert von det A nicht.
viii) Ist A eine Diagonalmatrix, so ist det A gleich dem Produkt
der Diagonalelemente.
ix) Ist A eine Dreiecksmatrix, so ist det A gleich dem Produkt
der Diagonalelemente.
Beweis: Die Eigenschaften (iv), (v), (viii) und (ix) lassen sich sofort
aus der Definition (8.6) ablesen. Aber (iv) folgt auch sofort aus Eigenschaft
(i) in Satz 8.3, wenn wir l als Index dieser Zeile und γ = γ ′ = 0
wählen. Ebenso folgt (v) aus dieser Eigenschaft, wenn wir sie auf jede
Zeile anwenden und γ ′ = 0 setzen.
Eigenschaft (vi) ergibt sich direkt aus (ii). Eigenschaft (vii) folgt aus
(i) und (vi). Die Regel (viii) für Diagonalmatrizen ergibt sich auch (iii)
nach n–maligem Anwenden von (i).
Ist R eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen r kk ≠ 0, kann
man sie durch die in (vii) genannten elementaren Zeilenoperationen in
eine Diagonalmatrix überführen, ohne den Wert der Determinante zu
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 8-5