Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
Die rellen und komplexen Zahlen, R und C, mit der üblichen Addition
und Multiplikation sind die bekanntesten Beispiele. Obwohl
wir im folgenden solche allgemeinere Vektorräume nicht betrachten,
fügen wir hier die Definition eines Körpers an:
Definition: Ein Körper [field] ist eine nichtleere Menge K auf
der eine Addition
und eine Multiplikation
α, β ∈ K ↦−→ α + β ∈ K
α, β ∈ K ↦−→ α · β ∈ K
definiert sind, wobei folgende Grundregeln gelten:
(K1) α + β = β + α
(K2) (α + β) + γ = α + (β + γ)
(∀α, β ∈ K),
(∀α, β, γ ∈ K),
(K3) es gibt ein ausgezeichnetes Element 0 ∈ K mit
α + 0 = α
(∀α ∈ K),
(K4) zu jedem α ∈ K gibt es ein eindeutig bestimmtes −α ∈ K mit
α + (−α) = 0 ,
(K5) α · β = β · α
(K6) (α · β) · γ = α · (β · γ)
(∀α, β ∈ K),
(∀α, β, γ ∈ K),
(K7) es gibt ein ausgezeichnetes Element 1 ∈ K, 1 ≠ 0, mit
α · 1 = α
(∀α ∈ K),
(K8) zu jedem α ∈ K, α ≠ 0 gibt es ein eindeutig bestimmtes
α −1 ∈ K mit α · (α −1 ) = 1 ,
(K9) α · (β + γ) = α · β + α · γ
(∀α, β, γ ∈ K),
(K10) (α + β) · γ = α · γ + β · γ
(∀α, β, γ ∈ K).
Die Axiome (K1)–(K4) bedeuten, dass K bezüglich der Addition
eine kommutative Gruppe ist, und wegen den Axiomen (K5)–(K8)
ist K\{0} (d.h. K ohne die Null) auch eine kommutative Gruppe
bezüglich der Multiplikation. Schliesslich sind die Axiome (K9) und
(K10) die üblichen Distributivgesetze. Den Multiplikationspunkt
lässt man oft weg.
Axiom (K8) hat zur Folge, dass man in einem Körper eine Division
definieren kann:
α/β :≡ α · β −1 . (4.10)
Lässt man dieses Axiom weg, so hat man anstelle eines Körpers
einen kommutativen Ring mit Eins.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-5