Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Allerdings lässt sich ja auch bei regulärer quadratischer Matrix A
ein Gleichungssystem im allgemeinen nicht ohne Zeilenvertauschungen
lösen. Bekanntlich hängen diese vom Verlauf der Rechnung
ab: Nullen oder (in gewissem Sinne) relativ kleine Zahlen dürfen
nicht als Pivot gewählt werden. Wenn wir die Vertauschungen alle
am Anfang der Elimination kennen würden, könnten wir sie aber
vorgängig ausführen und dann im so präparierten Eliminationsschema
alle Pivot auf der Diagonalen wählen. Formelmässig kann man
solche vorgängige Vertauschungen ausdrücken durch die Multipikation
von links mit einer Permutationsmatrix P.
Beispiel 3.2: Man hätte in Beispiel 3.1 die Zeilen von A etwa wie
folgt vertauschen können:
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
1 0 0
} {{ }
P
⎞ ⎛
⎠ ⎝
2 −2 4
−5 6 −7
3 2 1
⎞
} {{ }
A
⎛
⎠ = ⎝
−5 6 −7
3 2 1
2 −2 4
⎞
} {{ }
PA
⎠ . (3.19)
Natürlich müsste man dann auch die Komponenten der rechten Seite
entsprechend vertauschen:
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
1 0 0
} {{ }
P
⎞ ⎛
⎠ ⎝
6
−7
9
⎞
} {{ }
b
⎛
⎠ = ⎝
−7
9
6
⎞
} {{ }
Pb
⎠ . (3.20)
Die LR–Zerlegung PA = ˜L ˜R mit diagonaler Pivotwahl erweist sich als
möglich und liefert
˜L =
⎛
⎜
⎝
1 0 0
− 3 5
1 0
− 2 5
1
14
1
⎞
⎟
⎠ ,
˜R =
⎛
⎜
⎝
−5 6 −7
0
28
5
− 16 5
0 0
10
7
⎞
⎟
⎠ , (3.21)
wobei nun also PA = ˜L ˜R gilt. Vor- und Rückwärtseinsetzen ergibt
˜c = ˜L −1 (Pb) = ( )
24 20 T
−7
5 7 ,
x = ˜R −1˜c = ( 1 2 2 ) (3.22)
T .
Die in der LR–Zerlegung erzeugten Matrizen und auch die reduzierte
rechte Seite hängen natürlich von der Wahl der Pivotelemente (d.h. von
den ausgeführten Zeilenvertauschungen) ab. Erst das Schlussresultat für
x ist wieder identisch. Wir sehen hier, dass wir durch die neue Pivotwahl
das grosse Element −20 in R (vgl. (3.17)) vermeiden konnten.
Zusammenfassend erhalten wir aus den vorhergenden Überlegungen
die folgende Aussage:
LA-Skript 3-4 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht