Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung
Kapitel 10
Anwendungen der Eigenwertzerlegung
Wir betrachten in diesem Kapitel eine Reihe von Anwendungen der
Eigenwertzerlegung. Als erstes behandeln wir verschiedene Typen
von Systemen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten. Die gefundene Theorie gibt Anlass zur Definition der
Exponentialfunktion und weiterer Funktionen einer Matrix. Dann
betrachten wir die Hauptachsentransformation von quadratischen
Formen und ihre Anwendung auf die Charakterisierung von Kegelschnitten
und Flächen zweiter Ordnung (Ellipsoiden usw.). Schliesslich
zeigen wir, dass die Spektralnorm einer Matrix A durch den
grössten Eigenwert von A H A ausgedrückt werden kann.
10.1 Homogene lineare Differentiagleichungen
mit konstanten Koeffizienten
Systeme erster Ordnung
Gegeben sei ein System von homogenen linearen Differentialgleichungen
erster Ordnung
ẏ 1 (t) = a 11 y 1 (t) + a 12 y 2 (t) + · · · + a 1n y n (t)
.
ẏ n (t) = a n1 y 1 (t) + a n2 y 2 (t) + · · · + a nn y n (t)
(10.1)
mit konstanten (zeitunabhängigen) Koeffizienten a kl für die
gesuchten Funktionen y 1 , . . . , y n . Der Punkt auf ẏ k (t) bezeichnet
die Ableitung nach der Zeit t. Das System ist homogen, weil rechts
nur Terme vorkommen, die in einem y k (t) linear sind und folglich
die Nullfunktionen y 1 (t) ≡ · · · ≡ y n (t) ≡ 0 eine triviale Lösung
bilden. Eine spezifische Lösung ist erst eindeutig bestimmt durch n
zusätzliche Bedingungen, z.B. die Anfangsbedingungen
y 1 (0) = η 1 , . . . , y n (0) = η n , (10.2)
worin η 1 , . . . , η n vorgegebene Zahlen sind. Definiert man
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
A :≡ ( y
) 1 (t)
η 1
n
a kl , y(t) :≡ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k,l=1
⎝ . ⎠ , y 0 :≡ ⎝ . ⎠ ,
y n (t)
η n
(10.3)
so kann man das System (10.1) mit den Anfangsbedingungen (10.2)
wie folgt in Matrixform schreiben:
ẏ(t) = Ay(t) , y(0) = y 0 . (10.4)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 10-1