Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
9.2 Ähnlichkeitstransformationen;
die Eigenwertzerlegung
Wir betrachten nun wieder eine lineare Abbildung F : V → V ,
x ↦−→ F x eines Vektorraumes V der Dimension n in sich und die
zugehörigen Abbildungsmatrizen A und B bezüglich zwei verschiedenen
Basen {b 1 , . . . , b n } und {b ′ 1, . . . , b ′ n}. Analog zu Abschnitt 5.5,
wo jedoch Urbild- und Bildraum verschieden waren, gilt das folgende
kommutatives Diagramm:
x ∈ V
κ V
⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
κ −1
V
ξ ∈ E n
F
−−−−−−→
lin. Abb.
A
−−−−−−→
Abb.matrix
y ∈ V
κ V
⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
κ −1
V
η ∈ E n
(Koordinatenabbildung
bzgl.
“alten” Basen)
(Koordinaten
bzgl. “alten”
Basen)
T −1 ⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
T T −1 ⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
T (Koordinatentransformation)
(9.18)
ξ ′ ∈ E n
B
−−−−−−→
Abb.matrix
η ′ ∈ E n
(Koordinaten
bzgl. “neuen”
Basen)
Wir erinnern uns daran, vgl. (5.52), dass nach diesem Diagramm
gilt
B = T −1 AT, A = TBT −1 , (9.19)
was bedeutet, dass die n × n–Matrizen A und B ähnlich [similar]
sind. Der Übergang A ↦→ B = T −1 AT wird als Ähnlichkeitstransformation
[similarity transformation] bezeichnet.
Wir stellen uns nun wieder die Frage, wieweit sich die Abbildungsmatrix
durch geeignete Wahl der Basis vereinfachen lässt, das heisst,
wie weit man die Matrix A durch eine Ähnlichkeitstransformation
A ↦→ B = T −1 AT vereinfachen kann. Diese Frage ist eng verknüpft
mit der Eigenwerttheorie.
Satz 9.7 Ähnlichen Matrizen haben dasselbe charakteristische
Polynom; sie haben also die gleiche Determinante, die gleiche Spur
und die gleichen Eigenwerte.
Sowohl die geometrische als auch die algebraische Vielfachheit eines
Eigenwertes ist bei ähnlichen Matrizen gleich.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-9