Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Definition: Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt [inner
product] im R n (bzw. C n ) ist eine Funktion, die jedem Paar von
n-Vektoren eine reelle (bzw. komplexe) Zahl zuordnet, wobei die
Eigenschaften (S1)–(S3) [bzw. (S1), (S2’), (S3)] aus Satz 2.9 gelten.
Eine Norm [norm] im E n (d.h. R n oder C n ) ist eine Funktion, die
jedem n-Vektor eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet, wobei die
Eigenschaften (N1)–(N3) aus Satz 2.12 gelten.
Die gebräuchlichsten Normen sind Spezialfälle der p–Norm:
‖x‖ p :≡ (|x 1 | p + · · · + |x n | p ) 1 p
(1 ≤ p ≤ ∞), (2.59)
wobei die Fälle 1, 2 und ∞ von grösstem Interesse sind. Dabei ist
‖x‖ 1 :≡ (|x 1 | + · · · + |x n |) , ‖x‖ ∞ :≡ max
k=1,...,n |x k| . (2.60)
Beispiel 2.21: Betrachten wir in der normalen Euklidischen Ebene
die Vektoren x, für die ‖x‖ 1 = 1 ist, so bilden diese den Rand eines
Quadrates mit Seitenlänge √ 2, dessen Diagonalen auf den Achsen liegen.
Betrachten wir stattdessen die Vektoren mit ‖x‖ ∞ = 1, so bilden diese
den Rand eines Quadrates mit Seitenlänge 2, dessen Seitenmittelsenkrechten
auf den Achsen liegen.
Im R 3 liefert ‖x‖ 1 = 1 ein reguläres Oktaeder, ‖x‖ ∞ = 1 dagegen einen
Würfel.
2.5 Das äussere Produkt und die orthogonale
Projektion auf eine Gerade
Sind ein m–Vektor x und ein n–Vektor y gegeben, so ist das Skalarprodukt
(innere Produkt) 〈x, y〉 = x H y nur definiert wenn m = n,
in welchem Falle es eine 1 × 1–Matrix, d.h. ein Skalar ist.
Dagegen können wir das Produkt x y H immer bilden; es ist eine
m × n–Matrix. Im rellen Fall hat man
⎛ ⎞
x 1
.
x y T ( )
=
x i
y1 . . . y j . . . y n
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
x m
⎛
⎞
x 1 y 1 . . . x 1 y j . . . x 1 y n
. . .
=
x i y 1 . . . x i y j . . . x i y n
.
⎜
⎟
⎝ . . . ⎠
x m y 1 . . . x m y j . . . x m y n
Definition: Das dyadische Produkt oder äussere Produkt
[outer product] eines m–Vektors x und eines n–Vektors y ist die
m×n–Matrix x y H bzw. im reellen Fall die Matrix x y T .
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-23