Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung Lineare Algebra (2007)
mit freien Parametern α k und β k (k = 1, . . . , n). Die allgemeine
Lösung von (10.22) ist damit
⎛
⎜
y(t) = V z(t) = V ⎝
α 1 cos(ω 1 t) + β 1 sin(ω 1 t)
.
α n cos(ω n t) + β n sin(ω n t)
Durch Einführung der Diagonalmatrizen
Ω :≡ diag (ω 1 , . . . , ω n ) ,
⎞
⎟
⎠ . (10.29)
cos(Ω t) :≡ diag (cos(ω 1 t), . . . , cos(ω n t)) , (10.30)
sin(Ω t) :≡ diag (sin(ω 1 t), . . . , sin(ω n t))
und der Parametervektoren
a :≡ ( α 1 . . . α n
) T
, b :≡
(
β1 . . . β n
) T
(10.31)
könnte man (10.29) auch schreiben als
y(t) = V z(t) = V ( cos(Ω t) a + sin(Ω t) b ) . (10.32)
Um die spezielle Lösung, die (10.23) erfüllt, zu finden, bemerken
wir zunächst, dass gilt
oder eben
z k (0) = α k , ż k (0) = β k ω k (k = 1, . . . , n)
z(0) = a , ż(0) = Ω b . (10.33)
Wegen y(t) = Vz(t) resultieren hier aus den Anfangsbedingungen
in (10.24) zwei Gleichungssysteme mit der Matrix V, die zu lösen
sind, um die Parameter α k und β k (k = 1, . . . , n) festzulegen:
Va = y 0 , V˜b = y 1 mit ˜b :≡ Ω b . (10.34)
Da Ω diagonal ist, bedeutet b = Ω −1 ˜b bloss eine komponentenweise
Division durch die ω k .
Beispiel 10.3: Der Einfachheit halber und um die nötigen Änderungen
zu betonen, ersetzen wir einfach in Beispiel 10.1 die erste durch die zweite
Ableitung:
ÿ 1 (t) = −2y 1 (t) + 2y 3 (t)
ÿ 2 (t) = −2y 1 (t) − 3y 2 (t) − 4y 3 (t)
ÿ 3 (t) = − 3y 3 (t)
(10.35)
Die Anfangsbedingungen seien nun
y 1 (0) = 0 , y 2 (0) = 0 , y 3 (0) = 1 ,
ẏ 1 (0) = 1 , ẏ 2 (0) = 3 , ẏ 3 (0) = 0 ,
(10.36)
LA-Skript 10-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht