Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
r 11 := a 11 = 2 , r 12 := a 12 = −2 , r 13 := a 13 = 4 ,
1
l 21 := a 21 = −5 · 1
r 11 2 = −5 2 ,
r 22 := a 22 − l 21 r 12 = 6 − (− 5 2 ) · (−2) = 1 ,
r 23 := a 23 − l 21 r 13 = −7 − (− 5 2 ) · 4 = 3 ,
1
l 31 := a 31 = 3 · 1
r 11 2 = 3 2 ,
(
) ( 1
l 32 := a 32 − l 31 r 12 = 2 − 3 ) 1
r 22 2 · (−2) 1 = 5 ,
r 33 := a 3 3 − l 31 r 13 − l 32 r 23 = 1 − 3 2 · 4 − 5 · 3 = −20 .
Genau so gut kann man die Matrizen L und R kolonnenweise bestimmen:
man führt dieselben Rechnungen aus, aber in der Reihenfolge r 11 , l 21 ,
l 31 , r 12 , r 22 , l 32 , r 13 , r 23 , r 33 .
Eine weitere Option ist, die Pivotelemente in eine Diagonalmatrix
D einzubringen und dafür sowohl L als auch R durch Diagonalelemente
1 zu normieren. Das erfordert nur eine kleine Modifikation
der Formeln (3.24a)–(3.24b). Formal bedeutet es, dass
und
D :≡ diag (r 11 , r 22 , . . . , r nn ) , R 1 :≡ D −1 R (3.25)
PA = LDR 1 . (3.26)
Dies ist die LDR–Zerlegung oder LDU–Zerlegung [LDU decomposition]
von A.
Wir werden in Abschnitt 3.4 auf sie zurückkommen.
In grossen Problemen, die auf der Diskretisation von partiellen Differentialgleichungen
beruhen, spielen Versionen der LR–Zerlegung
eine wichtige Rolle, die angepasst sind an die Struktur dünn besetzter
Matrizen, die pro Zeile nur relativ wenige Elemente haben,
die nicht null sind.
Das grundsätzliche Vorgehen beim Lösen von Ax = b mittels LR–
Zerlegung sei noch einmal zusammengefasst:
Algorithmus 3.2 (Gauss-Elimination durch LR-
Zerlegung, Vor- und Rückwärtseinsetzen)
Zum Lösen eines regulären Gleichungssystems Ax = b kann man,
als Alternative zur Gauss-Elimination von Algorithmus 1.1, wie
folgt vorgehen:
1. LR-Zerlegung von A zum Beispiel gemäss Algorithmus 1.1
(aber ohne rechte Seite b) oder gemäss Algorithmus 3.1; sie
erzeugt die Matrizen L und R sowie die durch P darstellbare
Permutation der Zeilen.
2. Vorwärtseinsetzen: Lc = b auflösen nach c.
3. Rückwärtseinsetzen: Rx = c auflösen nach x.
LA-Skript 3-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht