Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 7 — Kleinste Quadrate, QR
Algorithmus 7.1 (klassisches Gram–Schmidt–Verfahren
im E m ) Es seien a 1 , . . . , a n ∈ E m gegebene linear unabhängige
Vektoren. Man berechne
q 1 := a 1
‖a 1 ‖ ,
˜q k := a k − ∑ k−1
j=1 q j 〈q j , a k 〉 ,
q k :=
⎫
⎪⎬ ˜q (k = 2, . . . , n) .
k
‖˜q k ‖ , ⎪ ⎭
(7.29)
Durch Vergleich mit (7.6) ist die Summe in der Formel für ˜q k nun
klar als Projektion von a k auf span {q 1 , . . . , q k−1 } erkennbar; es ist
also ˜q k das Lot von a k auf span {q 1 , . . . , q k−1 }.
Auflösen nach den gegebenen Vektoren a k liefert
a 1 = q 1 ‖a 1 ‖ , a k = q k ‖˜q k ‖ +
∑k−1
j=1
q j 〈q j , a k 〉
(k = 2, . . . , n).
Nun definieren wir die Koeffizienten
r 11 :≡ ‖a 1 ‖ ,
r jk :≡ 〈q j , a k 〉 , j = 1, . . . , k − 1,
r kk :≡ ‖˜q k ‖ ,
}
k = 2, . . . , n ,
(7.30)
die wir ergänzen können durch r jk
erhalten wir für k = 1, . . . , n
:≡ 0 (j = k + 1, . . . , n). Damit
a k = q k r kk +
∑k−1
j=1
q j r jk =
k∑
q j r jk =
j=1
n∑
q j r jk . (7.31)
j=1
Definieren wir die bereits erwähnten (m × n)–Matrizen
A :≡ ( a 1 . . . a n
)
, Q :≡
(
q1 . . . q n
)
sowie die (n × n)–Rechtsdreiecksmatrix
⎛
⎞
r 11 r 12 . . . r 1n
0 r 22 . . . r 2n
R :≡ ⎜
⎝
.
. . .
. .
⎟
. . ⎠
0 . . . 0 r nn
(7.32)
wird aus (7.31) kurz
A = QR . (7.33)
Definition: Die Zerlegung (7.33) einer m × n Matrix A mit
Maximalrang n ≤ m in eine m × n Matrix Q mit orthonormalen
Kolonnen mal eine n × n Rechtdreiecksmatrix mit positiven Diagonalelementen
heisst QR–Faktorisierung [QR factorization] von
A.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 7-9