Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung
Nun muss man die Anfangsbedingungen transformieren durch Lösen von
(10.11), was γ 1 = 2, γ 2 = 1, das heisst c = ( 2 1 ) T ergibt. Damit wird
z 1 (t) = 2e −t
z 2 (t) = e 2t und
x(t) = y 1 (t) = 2e −t + e 2t ,
ẋ(t) = y 2 (t) = −2e −t + 2e 2t .
Die gesuchte Lösung ist also x(t) = 2e −t + e 2t .
Systeme zweiter Ordnung ohne Terme erster Ordnung
Nun betrachten wir noch Systeme von homogenen linearen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten und ohne erste Ableitungen. Sie haben die Form
ÿ 1 (t) = a 11 y 1 (t) + a 12 y 2 (t) + · · · + a 1n y n (t)
.
ÿ n (t) = a n1 y 1 (t) + a n2 y 2 (t) + · · · + a nn y n (t)
(10.22)
Ein solches System kann man direkt mit der Transformationsmethode
behandeln, ohne es auf ein System erster Ordnung zu reduzieren.
Wir schreiben es zusammen mit den Anfangsbedingungen
y 1 (0) =
.
η 1 , ẏ 1 (0)
.
= η 1 ′ ,
y n (0) = η n , ẏ n (0) = η n ′ ,
(10.23)
als
ÿ(t) = Ay(t) , y(0) = y 0 , ẏ(0) = y 1 . (10.24)
Wir setzen wieder voraus, dass A diagonalisierbar ist. Zudem seien
die Eigenwerte von A negativ. Dies ist typischerweise in Anwendungen,
wo solche Differentialgleichungen auftreten, der Fall. Mit
AV = VΛ und z(t) :≡ V −1 y(t) erhalten wir analog zu (10.4) das
entkoppelte System
¨z(t) = Λz(t) . (10.25)
Schreiben wir dies komponentenweise, und führen wir die Grössen
ω k :≡ √ −λ k (10.26)
ein (hier wird λ k < 0 gebraucht), so ergibt sich
¨z k (t) + ω 2 kz k (t) = 0 (k = 1, . . . , n). (10.27)
Das ist die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators
[harmonic oscillator]. Sie hat bekanntlich die allgemeine Lösung
z k (t) = α k cos(ω k t) + β k sin(ω k t) (k = 1, . . . , n) (10.28)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 10-5