Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
Kapitel 6
Vektorräume mit Skalarprodukt
Wir verallgemeinern in diesem Kapitel verschiedene in Kapitel 2
für n–Vektoren eingeführten Begriffe wie Norm, Skalarprodukt und
Orthogonalität. Wir wissen ja schon, siehe Satz 5.9, dass jeder n–
dimensionale Vektorraum V über R bzw. C isomorph ist zum R n
beziehungsweise C n im Sinne, dass es eine eineindeutige lineare
Abbildung von V auf R n oder C n gibt. Die Existenz eines Skalarproduktes
macht einen n–dimensionalen Vektorraum aber “noch
ähnlicher” zum R n oder C n . Es ist zum Beispiel naheliegend, dass
man in solchen Räumen orthogonale Basen betrachtet und an linearen
Abbildungen interessiert ist, die Längen und Winkel erhalten.
6.1 Normierte Vektorräume
Definition:
Funktion
Eine Norm [norm] in einem Vektorraum V ist eine
‖.‖ : V → R , x ↦→ ‖x‖ (6.1)
mit den folgenden Eigenschaften:
(N1) Sie ist positiv definit:
‖x‖ ≥ 0 für alle x ∈ V ,
‖x‖ = 0 =⇒ x = o .
(N2) Sie ist dem Betrage nach homogen:
‖α x‖ = |α| ‖x‖ für alle x ∈ V, α ∈ E .
(N3) Die Dreiecksungleichung [triangle inequality] gilt:
‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ für alle x, y ∈ V . (6.2)
Ein Vektorraum mit einer Norm heisst normierter Vektorraum
[normed vector space] oder normierter linearer Raum [normed
linear space].
Man beachte, dass die Norm-Axiome (N1)–(N3) genau jene sind,
die wir in Satz 2.12 als Eigenschaften der 2–Norm für R n und C n
aufgezählt haben. Dort wurde die 2–Norm mit Hilfe des Euklidischen
Skalarprodukt 〈., .〉 definiert: ‖x‖ :≡ √ 〈x, x〉. Dies werden
wir im folgenden Abschnitt verallgemeinern. Aber hier wird die
Norm ohne Bezug auf ein Skalarprodukt definiert.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-1