Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 8 — Determinanten
Kapitel 8
Determinanten
Die Determinante einer quadratischen Matrix ist ein zentraler Begriff
und ein wichtiges Hilfsmittel in der klassischen Theorie der
Matrizen. Wir werden sie vor allem für die Definition des sogenannten
charakteristischen Polynoms brauchen, dessen Nullstellen
die Eigenwerte der Matrix sind.
Die Determinante ist dagegen kaum je nützlich, wenn es um numerische
Berechnungen geht. Glaubt man sie zu brauchen, hat man
in der Regel den falschen Weg gewählt, um das Problem zu lösen!
Aber es gibt Ausnahmen, zum Beispiel Anwendungen in der Physik.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Determinante einzuführen.
Wir wählen hier die klassische Definition durch eine etwas komplizierte,
in der Praxis unbrauchbare Formel, aus der aber alles folgt,
insbesondere auch eine effiziente Berechnungsart.
8.1 Permutationen
Wir müssen uns zuerst an die Definition und die Eigenschaften der
Permutationen der Zahlmenge {1, . . . , n} erinnern.
Definition: Eine Permutation [permutation] von n Elementen
ist eine eineindeutige Abbildung der Menge {1, . . . , n} auf sich. Die
Menge aller dieser Permutationen sei S n .
Eine Transposition [transposition] ist eine Permutation, bei der
nur zwei Elemente vertauscht werden.
Satz 8.1 Es gibt n! Permutationen in S n .
Beweis: Jede Permutation entspricht einer Anordnung der Zahlen
1, . . . , n. Für n = 1 gilt: S 1 enthält nur die Identität, also nur 1 Element.
Betrachtet wir nun in S n jene Abbildungen, die die Reihenfolge
der Zahlen 1, . . . , n − 1 nicht verändern. Es gibt n von ihnen, denn man
kann die Zahl n an n Stellen zwischen die restlichen einfügen. Wir dürfen
die Induktionsvoraussetzung machen, dass die restlichen n − 1 Zahlen
auf (n − 1)! Arten angeordnet werden können. Also enthält S n total
n(n − 1)! = n! Elemente.
Zwei Permutationen p 1 und p 2 kann man natürlich zusammensetzen
zu p 2 ◦p 1 . Diese Zusammensetzung soll als Produkt von Permutationen
aufgefasst werden. S n bildet mit dieser Operation eine Gruppe
mit n! Elementen, die nicht kommutativ ist, wenn n ≥ 3. In der
Algebra nennt man S n die symmetrische Gruppe [symmetric
group].
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 8-1