Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Beispiel 9.8: Wir setzen Beispiel 9.6 fort: Zur Matrix A aus (9.15)
gehört gemäss (9.16)–(9.17) die Identität
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
5 −1 3 1 0 −1 1 0 −1 1 0 0
⎝ 8 −1 6 ⎠ ⎝ 4 3 −2 ⎠ = ⎝ 4 3 −2 ⎠ ⎝ 0 1 0 ⎠ .
−4 1 −2 0 1 1 0 1 1 0 0 0
} {{ }
A
} {{ }
V
} {{ }
V
} {{ }
Λ
Die Kolonnen v 1 und v 2 von V sind gemäss Konstruktion linear unabhängige
Eigenvektoren zum Eigenwert λ 1 = λ 2 = 1 mit algebraischer
und geometrischer Vielfachkeit 2. Der Eigenvektor v 3 gehört zu λ 3 = 0
und ist gemäss Satz 9.11 linear unabhängig zu jeder Linearkombination
von v 1 und v 2 . Also sind die drei Vektoren v 1 , v 2 , v 3 linear unabhängig,
das heisst sie bilden eine Eigenbasis, und V ist regulär. In der Tat ist
⎛
V −1 = ⎝
5 −1 3
−4 1 −2
4 −1 3
und somit hat A die Spektralzerlegung
⎛
1 0
⎞ ⎛
−1 1 0 0
A = ⎝ 4 3 −2 ⎠ ⎝ 0 1 0
0 1 1 0 0 0
} {{ }
V
} {{ }
Λ
⎞ ⎛
⎞
⎠ ,
5 −1 3
−4 1 −2
4 −1 3
⎞
⎠ ⎝
⎠ .
} {{ }
V −1
Es gibt leider aber auch nicht-diagonalisierbare Matrizen. Hier ist
das einfachste Beispiel:
Beispiel 9.9:
Die Matrix
A =
( 1 1
0 1
)
hat das charakteristische Polynom χ A (λ) = (1 − λ) 2 , also den doppelten
Eigenwert 1. Aber das Gleichungssystem (A − 1 I)v = 0 mit der
Koeffizientenmatrix
( ) 0 1
A − 1 I =
0 0
hat Rang 1. Es ist also n − r = 2 − 1 = 1, das heisst der Eigenraum E 1
ist eindimensional; die geometrische Vielfachheit 1 des Eigenwertes ist
damit kleiner als die algebraische Vielfachheit 2.
Dieses Beispiel zeigt, dass die geometrische Vielfachheit kleiner als
die algebraische sein kann, was bedeutet, dass es dann keine Eigenbasis
geben kann. Wie kann man wohl diese Situation charakterisieren?
Und ist auch das Umgekehrte möglich?
Es gelten die folgenden zwei grundlegenden Aussagen:
Satz 9.13 Für jeden Eigenwert gilt, dass die geometrische Vielfachheit
kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit ist.
Weil der Grad von χ A genau n ist, sich also die algebraischen Vielfachheiten
zu n summieren, folgt sofort die Notwendigkeit der folgenden
Bedingung.
LA-Skript 9-14 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht