Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 5 — Lineare Abbildungen Lineare Algebra (2007)
Analoge Aussagen gibt es für andere Lösungsmengen linearer Beziehungen.
Zum Beispiel für lineare Differentialgleichungen, und
zwar sowohl für eine Differentialgleichung höherer Ordnung als auch
für Systeme erster (oder höherer) Ordnung. In jedem Falle ist die
Lösungsmenge ein affiner Teilraum eines geeignet gewählten Funktionenraums.
Beweis von Satz 5.19: Aus Ax 0 = b und Ax = o folgt A(x 0 +x) = b ;
es gilt also L b ⊇ x 0 +L 0 . Ist umgekehrt x 1 irgend eine Lösung von Ax =
b, so gilt A(x 1 − x 0 ) = o, es ist also x 1 − x 0 ∈ L 0 , d.h., x 1 ∈ x 0 + L 0 ;
also gilt auch L b ⊆ x 0 + L 0 .
Beispiel 5.10: Wir betrachten nochmals das oben behandelte Beispiel
5.7, interessieren uns nun aber für die allgemeine Lösung des inhomogenen
Systems (1.17), die wir übrigens ja bereits in Kapitel 1 bestimmt
haben, siehe (1.21). Dort haben wir insbesondere die spezielle Lösung
x 0 = ( 1
43
125
0
4
25
0 − 1 5
1 0 0 ) T
gefunden, in der alle freien Variablen null gesetzt sind. Anderseit haben
wir in (5.38) eine Basis von L 0 berechnet. In Matrixschreibweise lässt
sich damit die allgemeine Lösung ausdrücken als
⎛
x = x 0 + ( )
x 1 x 2 x 3 x 4
⎜
⎝
⎛
=
⎜
⎝
1
43
125
0
4
25
0
− 1 5
1
0
0
α
β
γ
δ
⎞
⎞ ⎛
−5 −4 −1 0
− 4 5
− 2 5
− 14 23
125 125
1 0 0 0
8
0 0 +
0 1 0 0
0 0 − 2 5
− 1 5
⎟ ⎜ 0 0 0 0
⎠ ⎝ 0 0 1 0
0 0 0 1
⎟
⎠ (5.46)
25
− 6
25
⎞
⎛
⎜
⎝
⎟
⎠
α
β
γ
δ
⎞
⎟
⎠ (5.47)
mit frei wählbaren Parametern α, β, γ, δ. Dies stimmt genau mit der
allgemeinen Lösung in (1.21) überein.
5.5 Die Abbildungsmatrix bei Koordinatentransformation
Es seien X und Y Vektorräume der Dimensionen n bzw. m, und
weiter seien
F : X → Y , x ↦→ y eine lineare Abbildung,
A : E n → E m , ξ ↦→ η die entsprechende Abbildungsmatrix,
T : E n → E n , ξ ′ ↦→ ξ eine Transformationsmatrix im E n ,
S : E m → E m , η ′ ↦→ η eine Transformationsmatrix im E m .
LA-Skript 5-18 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht