Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
3.4 Die Cholesky-Zerlegung
In Abschnitt 3.1 haben wir darauf hingewiesen, siehe (3.25)–(3.26),
dass man die LR–Zerlegung PA = LR (mit Zeilenvertauschungen)
jederzeit durch eine äquivalente LDR–Zerlegung PA = LDR 1 ersetzen
kann, wo D die Diagonale von R und R 1 :≡ D −1 R ist.
Ist A symmetrisch oder Hermitesch und die Zerlegung ohne Zeilenvertauschen
möglich, so ist dabei P = I und automatisch R 1 = L T
bzw. R 1 = L H , so dass gilt:
A = LDL T bzw. A = LDL H . (3.62)
Sind zudem die Diagonalelemente d ii :≡ r ii von D positiv, so kann
man ihre Quadratwurzeln berechnen und jene von D definieren als
Setzt man nun
D 1 2 :≡ diag (
√
r11 , √ r 22 , . . . , √ r nn ) . (3.63)
˜R :≡ D 1 2 L
T
bzw. ˜R :≡ D
1
2 L H , (3.64)
erhält man die Cholesky-Zerlegung 2 [Cholesky decomposition]
A = ˜R T ˜R bzw. A = ˜RH ˜R . (3.65)
Bei der linken Version setzt man dabei voraus, dass die Matrizen
reell sind, aus einem Grund, auf den wir gleich kommen werden.
Nun haben wir in Abschnitt 3.3 gesehen, dass man die LR–Zerlegung
(theoretisch) ohne Zeilenvertauschungen ausführen kann genau dann,
wenn die führenden Hauptuntermatrizen A k (k = 1, ..., n − 1) regulär
sind. Aber wann können wir das garantieren? Und wann sind
dann zudem die Diagonalelemente von D positiv?
Es gibt eine wichtige Klasse reell symmetrischer oder Hermitescher
Matrizen, wo das gewährleistet ist.
Definition: Eine reell symmetrische n × n Matrix A heisst positiv
definit [positive definite] oder, kurz, eine spd Matrix, falls
x T Ax > 0 für alle x ∈ R n , x ≠ o . (3.66)
Eine Hermitesche n × n Matrix A heisst positiv definit [positive
definite] oder, kurz, eine Hpd Matrix, falls
x H Ax > 0 für alle x ∈ C n , x ≠ o . (3.67)
Gilt (3.66) bzw. (3.67) nur mit dem ≥–Zeichen, so heisst die Matrix
positiv semidefinit [positive semidefinite].
2 André Louis Cholesky (15.10.1875 – 31.10.1918), französischer Offizier,
der unter anderem Vermessungen in Algerien und Tunesien durchführte und
im ersten Weltkrieg als Regimentskommandant fiel; Ritter der Ehrenlegion.
LA-Skript 3-16 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht