Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
Beweis: Die gemäss Lemma 5.1 existierende Umkehrabbildung F −1
werde durch die Matrix B dargestellt. Dann ist nach dem Diagramm
(5.24) analog zu (5.25) B = κ X F −1 κ −1
Y
, also
AB = κ Y F κ −1
X κ X F −1 κ −1
Y = I .
Also ist nach Satz 2.17 A invertierbar und A −1 = B.
Liegt die Bildmenge einer Abbildung F im Definitionsbereich einer
zweiten Abbildung G, so kann man diese bekanntlich zusammensetzen
zur Komposition G ◦ F . Wir schreiben oft einfach G F . Zur
Illustration dieser Situation kann man das Diagramm 5.26 ergänzen:
x ∈ X
G ◦ F
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−−−−−−→ y ∈ Y −−−−−−→
F
G
z ∈ Z
κ X
⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
κ −1
X
κ Y
⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
κ −1
Y
κ Z
⏐ ⏐⏐⏐↓
↑ ⏐⏐⏐⏐
κ −1
Z
ξ ∈ E n
Dabei gilt:
A
−−−−−−→ η ∈ Em B
−−−−−−→
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
B A
ζ ∈ E p
(5.27)
Lemma 5.3 Sind X, Y, Z Vektorräume über E und F : X → Y ,
G : Y → Z lineare Abbildungen, so ist auch G◦F : X → Z linear.
Sind A und B die Abbildungsmatrizen zu F und G bezüglich festen
Basen in X, Y, Z, so hat G ◦ F die Abbildungsmatrix BA.
Beweis: Die Verifikation des ersten Teils ist einfach. Beim Beweis des
zweiten Teils kann man sich wieder auf (5.25) stützen.
5.2 Kern, Bild und Rang
In diesem Abschnitt sei stets F : X → Y eine lineare Abbildung.
Dabei sei dim X = n, dim Y = m.
Definition:
o ∈ Y .
Der Kern [kernel] ker F von F ist das Urbild von
ker F :≡ {x ∈ X; F x = o} ⊆ X ,
Lemma 5.4 ker F ist ein Unterraum von X, und im F ist ein
Unterraum von Y .
Beweis:
also βx + γy ∈ ker F .
(i) Es seien x, y ∈ ker F und β, γ ∈ E. Dann ist
F (βx + γy) = βF x + γF y = βo + γo = o ,
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-7