Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Ist A diagonalisierbar, AV = VΛ, und definieren wir z(t) :≡
V −1 y(t), so dass ż(t) = V −1 ẏ(t) (weil V zeitunabhängige Elemente
hat), ist (10.4) äquivalent zu
Das heisst, es gilt
oder
V −1 ẏ(t) = V −1 A V V
} {{ } } {{ }
−1 y(t) .
} {{ }
ż(t) Λ z(t)
ż(t) = Λz(t) (10.5)
ż 1 (t) = λ 1 z 1 (t)
.
ż n (t) = λ n z n (t) .
(10.6)
Durch Bestimmen der Eigenwerte und Eigenvektoren von A ist
es uns also gelungen, das System (10.1) gekoppelter linearer Differentialgleichugen
zu entkoppeln. Man nennt dieses Vorgehen die
Transformationsmethode.
Das entkoppelte System (10.5)/(10.6) hat die allgemeine Lösung
z 1 (t) = γ 1 e λ 1t
.
z n (t) = γ n e λ nt
(10.7)
mit frei wählbaren Konstanten γ 1 , . . . , γ n . Um eine kompakte Darstellung
zu erhalten, definieren wir die Diagonalmatrix
e tΛ :≡ diag (e λ 1 t , . . . , e λn t ) (10.8)
und den Konstantenvektor c = ( γ 1 . . .
) T,
γ n womit
⎛ ⎞
γ 1 e λ 1t
⎜
z(t) = ⎝
.
γ n e λ nt
Die allgemeine Lösung von (10.1) lautet damit
⎟
⎠ = e tΛ c . (10.9)
y(t) = V z(t) = V e tΛ c . (10.10)
Um die spezielle Lösung, die (10.2) erfüllt, zu finden, benutzen wir,
dass z(0) = ( ) T
γ 1 . . . γ n = c . Aus (10.10) und y(0) = y0 folgt,
dass das lineare Gleichungssystem
⎛ ⎛
⎜
Vc = y 0 oder V ⎝
⎞
γ 1
⎟
. ⎠ =
γ n
⎜
⎝
⎞
η 1
⎟
. ⎠ (10.11)
η n
nach c = ( γ 1 . . . γ n
) T
aufzulösen ist. Danach ist das berechnete
c in (10.10) einzusetzen.
LA-Skript 10-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht