Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Damit ist bereits ein Teil des folgenden Satzes bewiesen.
Satz 10.4 [Trägheitssatz]
Zu jeder reellen symmetrische Matrix A gibt es eine kongruente
Matrix I ± der Form (10.68). Dabei ist das Tripel (p, r − p, n − r)
gleich der Trägheit von A, die unabhängig ist von der zugrunde
liegenden Kongruenztransformation.
Beweis: Was zu zeigen bleibt, ist dass p und r unabhängig sind von
S, selbst wenn wir eine beliebige reguläre Matrix S zulassen, und nicht
nur jene von der speziellen Form S = UD wie in (10.69).
Es seien A = S I ± S T = S ′ I ′ ± (S ′ ) T zwei verschiedene Kongruenztransformationen
von A auf die gewünschte Diagonalform (10.68), und es
seien (p, r − p, n − r) und (p ′ , r ′ − p ′ , n − r ′ )r die darin auftauchenden
Tripel von Indizes. Ferner seien ˜x und ˜x ′ die entsprechend transformierten
Variablen, für die gilt
Q(x) = x T Ax = y T I ± y = (y ′ ) T I ′ ±y ′ . (10.70)
Schliesslich seien b 1 , . . . , b n und b ′ 1 , . . . , b′ n die diesen Koordinaten
entsprechenden Basen des R n .
Die Tatsache, dass r = r ′ = Rang A, folgt schon daraus, dass nach
Voraussetzung S und S ′ regulär sind und bei einer Zusammensetzung
von Abbildungen (bzw. einem Produkt von Matrizen) der Rang nicht
wachsen kann; siehe Korollar 5.10 und Satz 5.16. Aus (10.70) schliesst
man, dass in den Unterräumen
gilt:
U :≡ span {b 1 , . . . , b p }, W :≡ span {b ′ p ′ +1 , . . . , b′ n}
Q(x) > 0 für alle x ∈ U, Q(x) ≤ 0 für alle x ∈ W .
Folglich ist U ∩ W = ∅, also p + (n − p ′ ) ≤ n, d.h. p ≤ p ′ . Aus Symmetriegründen
gilt auch p ′ ≤ p, also notwendigerweise p = p ′ . Mit dem
gleichen Argument hätte man auch zeigen können, dass r − p = r ′ − p ′
sein muss.
Da in der zuvor betrachteten speziellen Kongruenztransformation das
Trippel (p, r−p, n−r) gleich der Trägheit von A ist, muss dies allgemein
gelten.
Erlaubt man bei der Kongruenztransformation eine beliebige reguläre
Matrix, so lässt sich diese auch ohne Lösen des Eigenwertproblemes
in einem endlichen Algorithmus finden. Im wesentlichen
handelt es sich dabei um eine symmetrische LR–Zerlegung mit
gleichzeitigen Kolonnen- und Zeilenpermutationen, also um eine
Zerlegung der Form
A = PLDL T P T , (10.71)
aber es gibt noch Fälle, wo ein zusätzlicher Trick nötig sind. Einen
besonders einfachen Fall, wo man ohne Permutationen auskommt,
haben wir bereits in Abschnitt 3.4 betrachtet: die symmetrisch positiv
definiten Matrizen. Da die Cholesky–Zerlegung einer solchen
LA-Skript 10-14 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht