Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung
Wenn wir die neuen Koordinaten
˜x 1 = 0.60x 1 − 0.80x 2
˜x 2 = 0.48x 1 + 0.36x 2 − 0.80x 3
˜x 3 = 0.64x 1 + 0.48x 2 + 0.60x 3
einführen, so erhalten wir also die Hauptachsendarstellung
Q(x) = ˜Q(˜x) = 125˜x 2 1 − 125˜x 2 2 + 500˜x 2 3 .
Die Gleichung Q(x) = 500 führt damit auf
1
500 ˜Q(˜x) = 1 4 ˜x2 1 − 1 4 ˜x2 2 + ˜x 2 3 = 1 (10.63)
Für die Schnittkurven mit den drei Koordinatenebenen des neuen Koordinatensystems
erhalten wir
x 3 = 0 =⇒ 1 4 ˜x2 1 − 1 4 ˜x2 2 = 1 (Hyperbel) , (10.64)
x 2 = 0 =⇒ 1 4 ˜x2 1 + ˜x 2 3 = 1 (Ellipse) , (10.65)
x 3 = 0 =⇒ − 1 4 ˜x2 2 + ˜x 2 3 = 1 (Hyperbel) . (10.66)
Eine solche Fäche zweiter Ordnung nennt man einschaliges Hyperboloid
[one-sheeted hyperboloid]. Gäbe es in der Summe in (10.63) zwei
Minuszeichen statt nur eines, hätten wir ein zweischaliges Hyperboloid
[two-sheeted hyperboloid]. Wären alle drei Vorzeichen positiv (und
damit alle drei Schnittkurven Ellipsen), wäre die Fläche ein Ellipsoid
[ellipsoid].
Man kann Korollar 10.3 auch etwas anders formulieren. Wir können
schon bei der Spektralzerlegung von A darauf achten, dass die positiven
Eigenwerte zuerst und die Eigenwerte null zuletzt aufgeführt
werden. Definieren wir noch die Diagonalmatrizen
D :≡ diag ( √ |λ 1 |, . . . , √ |λ n |) , (10.67)
I ± :≡ diag (1, . . . , 1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0) , (10.68)
} {{ } } {{ } } {{ }
p
r−p n−r
so lässt sich die Transformation von Q ja wie folgt zusammenfassen:
Q(x) = x T Ax = x T UΛU T x = x T }{{} UD I ± DU } {{ T
} x = y T I ± y .
} {{
≡: S
} }
= S
{{ T }
= y T = y
Es wird also A zerlegt in
orthogonale Kolonnen hat.
A = S I ± S T , wobei S :≡ UD (10.69)
Definition: Zwei n × n–Matrizen A und B heissen kongruent
[congruent], wenn es eine reguläre Matrix S gibt, so dass
A = S B S T .
Der Übergang von B ↦→ A = S B S T (oder umgekehrt) heisst dann
Kongruenztransformation [congruence transformation].
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 10-13