Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung Lineare Algebra (2007)
so erhalten wir schliesslich
F (x) = ˜F (˜x) = ˜Q(˜x − d) − 2p T˜x − ˜γ (10.78)
oder ausgeschrieben
F (˜x 1 , . . . , ˜x n ) = ∑ λ k (˜x k − d k ) 2 − 2 ∑ p k˜x k − ˜γ . (10.79)
λ k ≠0
λ k =0
Den zweiten Term in (10.78) kann man auch als −2 p T (˜x−d) schreiben,
wenn man −˜γ durch −˜γ − 2p T d ersetzt.
Satz 10.6 Eine auf dem R n definierte quadratische Funktion
(10.73) lässt sich auf die Form (10.78)–(10.79) reduzieren.
Setzt man in einer Gleichung ˜F (˜x) = 0 mit ˜F aus (10.78) / (10.79)
n−2 der Komponenten ˜x k −d k von ˜x−d gleich Null, so erhält man
einen Kegelschnitt in Normalform oder die leere Menge. Solch ein
Kegelschnitt entspricht dem Schnitt der durch F (x) = 0 definierten
Kegelfläche im R n mit einer geeignet verschobenen Koordinatenebene
im ˜x–Koordinatensystem.
Offenbar treten Parabeln als Schnittkurven genau dann auf, wenn
es Eigenwerte gibt, die null sind. Reine Ellisoide (d.h. Ellipsen für
alle Schnitte) erfordern, dass alle Eigenwerte das gleiche Vorzeichen
wie γ haben müssen. Ist es entgegengesetzt, so ist die Lösungsmenge
von F (x) = 0 leer.
10.6 Die Spektralnorm
Nun wollen wir auf die Berechnung der in (6.65) eingeführten Spektralnorm
oder 2–Norm einer Matrix,
‖Ax‖ 2
‖A‖ 2 :≡ sup
x≠0 ‖x‖ 2
= sup ‖Ax‖ 2 ,
‖x‖ 2 =1
eingehen, die auch die Konditionszahl κ 2 (A) aus (6.76) liefert.
Satz 10.7 Die Spektralnorm einer Matrix A ∈ E n×n ist gleich der
Wurzel aus dem grössten Eigenwert von A H A oder, äquivalent,
‖A‖ 2 = max{ √ ω ; ω Eigenwert von A H A}. (10.80)
Falls A reell ist, ist natürlich A H A = A T A.
Beweis: Da A H A Hermitesch ist, gibt es gemäss Satz 9.15 eine Spektralzerlegung
A H A = UΩU H mit unitärem U und diagonalem Ω. Weil
A H A Hermitesch positiv semidefinit ist, sind dabei die Diagonalelemente
ω k von Ω nicht negativ. Mit y :≡ U H x folgt dank ‖y‖ 2 = ‖x‖ 2 :
‖A‖ 2 2 =
sup ‖Ax‖ 2 2 =
‖x‖ 2 =1
= sup y H Ωy =
‖y‖ 2 =1
sup x H A H Ax =
‖x‖ 2 =1
n∑
sup
‖y‖ 2 =1
k=1
ω k |y k | 2 =
sup x H UΩU H x
‖x‖ 2 =1
max ω k .
k=1,...,n
LA-Skript 10-16 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht