Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
Satz 2.18 Sind A und B reguläre n × n–Matrizen, so gilt:
i) A −1 ist regulär und
ii) AB ist regulär und
(A −1 ) −1 = A . (2.70)
(AB) −1 = B −1 A −1 . (2.71)
iii) A T und A H sind regulär und
(A T ) −1 = (A −1 ) T , (A H ) −1 = (A −1 ) H . (2.72)
Beweis: i) ergibt sich sofort aus der Definition (2.69).
Zu ii): Aus (AB)(B −1 A −1 ) = A(BB −1 )A −1 = AA −1 = I n und Satz 2.17
folgt, dass B −1 A −1 die Inverse von AB ist.
Zu iii): Gemäss (2.35) ist A T (A −1 ) T = (A −1 A) T = I T n = I n . Also ist
wiederum nach Satz 2.17 (A −1 ) T die Inverse von A T . Ganz analog ergibt
sich (A H ) −1 = (A −1 ) H .
Die Berechnung von A −1 :
Wie wir im Beweis von Satz 2.17 gesehen haben, lassen sich die n
Kolonnen von A −1 berechnen als Lösungen der n Gleichungssysteme
Ax k = e k , k = 1, . . . , n. Wir können deshalb die Inverse mit Gauss-
Elimination bestimmen durch gleichzeitiges Lösen dieser n Systeme.
Mit Hilfe der Inversen der Koeffizientenmatrix, falls sie existiert,
lässt sich ein lineares Gleichungssystems offensichtlich sofort formal
lösen, indem man es von links mit A −1 multipliziert. Aus Korollar
1.7 wissen wir ja schon, dass es genau eine Lösung gibt, wenn
A regulär ist. Genauer: Im Beweis von Satz 2.17 haben wir die eindeutige
Lösbarkeit des Systems direkt mit der Invertierbarkeit und
Regularität der Matrix verknüpft. Zusammen gibt das
Satz 2.19 Ist A regulär, so hat das Gleichungssystem Ax = b
für jede rechte Seite b eine eindeutige Lösung, und zwar ist
x = A −1 b . (2.73)
Bemerkung: Da die Berechnung der Inversen A −1 das Lösen von
n linearen Gleichungssystemen mit der Matrix A erfordert, macht
es keinen Sinn, ein System Ax = b auf diesem Weg zu lösen, denn
der Aufwand ist deutlich grösser. Das gilt auch dann noch, wenn
das System für mehrere rechte Seiten zu lösen ist. Wir werden in
Abschnitt 3.1 den Rechenaufwand diverser Varianten diskutieren.
LA-Skript 2-28 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht