Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 3 — LR–Zerlegung
Satz 3.1 Angewandt auf ein quadratisches Gleichungssystem
Ax = b mit regulärer Matrix A liefert die Gauss-Elimination
eine die Zeilenvertauschungen beschreibende Permutationsmatrix
P, eine Rechtsdreiecksmatrix R des reduzierten Systems und eine
entsprechende rechte Seite c sowie, durch Zusammenziehen der
Zeilenmultiplikatoren l kj , eine Linksdreiecksmatrix L, wobei alles
quadratische Matrizen gleicher Ordnung sind und die Beziehungen
PA = LR , Lc = Pb , Rx = c . (3.23)
gelten.
Ist die LR–Zerlegung PA = LR einmal berechnet, so lässt sich
irgend ein System mit Koeffizientenmatrix A lösen durch Auflösen
von Lc = Pb nach c (Vorwärtseinsetzen) und Auflösen von Rx =
c nach x (Rückwärtseinsetzen).
Bemerkung: Dass die Beziehungen (3.23) die richtige Lösung x
liefern, sieht man auch daraus, dass
Ax = P −1 PAx = P −1 LRx = P −1 Lc = P −1 Pb = b .
Es gibt viele Varianten der LR–Zerlegung. Wir haben in jedem Eliminationsschritt
eine neue Kolonne von L, eine neue Zeile von R
und eine neue Komponente von c bestimmt und zudem das verkleinerte
Restgleichungssystem nachgeführt. Man kann aber auch
L und R direkt aus A berechnen, ohne dass man Restgleichungssysteme
aufstellt. Zum Beispiel lassen sich beide Matrizen L und R
direkt kolonnenweise (oder zeilenweise) berechnen. In der Tat bekommen
wir, wenn wir wieder von Zeilenvertauschungen absehen,
aus (3.7)–(3.8) sofort die nachfolgenden Rekursionen:
Algorithmus 3.1 (Zeilenweise, direkte LR–Zerlegung,
“regulärer Fall”) Zur LR–Zerlegung einer regulären Matrix A
berechne man für i = 1, . . . , n, mit l ii := 1,
(
)
∑k−1
1
l ik := a ik − l ij r jk (k = 1, . . . , i − 1), (3.24a)
r ik :=
j=1
j=1
r kk
(
)
∑i−1
1
a ik − l ij r jk (k = i, . . . , n). (3.24b)
l ii
Zeilenvertauschungen können dabei wie üblich durch Umnummerierung
der Elemente von A berücksichtigt werden.
Will man statt den Diagonalelementen von L jene von R auf
1 normieren, so wendet man (3.24a) auch für k = i an, dafür
(3.24b) erst ab k = i + 1.
Beispiel 3.3: Um etwa die Matrix A aus (3.16) in Beispiel 3.1 zu
zerlegen in die Faktoren L und R in (3.17) kann man nach (3.24a)–
(3.24b) zeilenweise wie folgt vorgehen (wir wählen dabei l ii := 1):
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 3-5