Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
Korollar 9.16 Ist A ∈ R n×n symmetrisch, so gilt:
i) Alle Eigenwerte λ 1 , . . . , λ n sind reell.
ii) Die reellen Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind
paarweise orthogonal in R n .
iii) Es gibt eine orthonormale Basis des R n aus Eigenvektoren
u 1 , . . . , u n von A.
iv) Für die orthogonale Matrix U :≡ ( u 1 . . . u n
)
gilt
U T AU = Λ :≡ diag (λ 1 , . . . , λ n ). (9.30)
Beweis von Satz 9.15:
i) und ii): Es seien u und v Eigenvektoren zu den nicht notwendigerweise
verschiedenen Eigenwerten λ u und λ v . Dann folgt aus A H = A, dass
und damit
〈u, Av〉 = u H Av = u H A H v = (Au) H v = 〈Au, v〉
λ v 〈u, v〉 = 〈u, λ v v〉 = 〈u, Av〉 = 〈Au, v〉 = 〈λ u u, v〉 = λ u 〈u, v〉 .
(9.31)
Wenden wir dies an auf den Fall wo λ u = λ v und u = v, so folgt wegen
〈u, u〉 > 0, dass λ v = λ u . Dies bedeutet, dass alle Eigenwerte reell sind.
Im Falle λ u ≠ λ v schreiben wir (9.31) als (λ v − λ u ) 〈u, v〉 = 0. Wegen
λ v − λ u = λ v − λ u ≠ 0 folgt dann, dass der zweite Faktor null sein muss.
Also stehen in diesem Falle u und v senkrecht aufeinander.
iii) und iv): Diese zwei Aussagen sind offensichtlich äquivalent. Wir
können natürlich in jedem Eigenraum E λ , weil Unterraum von C n , eine
orthonormale Basis wählen (vgl. Korollar 6.7). Da nach Teil ii) die
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten senkrecht aufeinander stehen,
folgt, dass diese Basisvektoren zusammen eine orthogonale Basis
des Unterraumes bilden, der von allen Eigenvektoren aufgespannt wird;
vgl. den Beweis von Satz 9.14. Was uns allerdings fehlt, ist die Gewissheit,
dass dieser Raum der ganze C n ist, d.h. dass für keinen Eigenwert
die geometrische kleiner als die algebraische Vielfachheit ist. Oder, mit
anderen Worten, dass A diagonalisierbar ist. Dies lässt sich mit Induktion
beweisen; siehe z.B. Nipp/Stoffer Seiten 159–161.
Beweis von Korollar 9.16:
i) Weil jede reelle symmetrische Matrix Hermitesch ist, gelten die Aussagen
von Satz 9.15, insbesondere Teil i).
ii)–iv) Weil Matrix und Eigenwerte reell sind, kann man sich auf reelle
Eigenvektoren beschränken, für die das Skalarprodukt in R n gleich jenem
in C n ist. Aus der unitären Matrix mit den Kolonnen aus Eigenvektoren
wird dabei eine orthogonale Matrix.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-17