Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 5 — Lineare Abbildungen Lineare Algebra (2007)
Beachte: Die Abbildungsmatrix enthält in der l–ten Kolonne die
Koordinaten (bezüglich der Basis von Y ) des Bildes des l–ten Basisvektors
(von X).
Umgekehrt gehört zu jeder Matrix A = ( a kl
)
∈ E m×n bei vorgegebenen
Basen in X und Y eine durch (5.14) eindeutig bestimmte
lineare Abbildung F : X → Y . Durch (5.14) sind die Bilder der
Basis von X bestimmt. Das Bild eines beliebigen Vektors x ∈ X
ergibt sich auf Grund der geforderten Linearität: Es wird ja
x =
n∑
l=1
ξ l b l (5.15)
mit dem Koordinatenvektor ξ :≡ ( ξ 1 . . . ξ n
) T
abgebildet auf
( n∑
y :≡ F x = F
l=1
ξ l b l
)
=
n∑
l=1
ξ l F b l
=
n∑
l=1
ξ l
m
∑
k=1
a kl c k =
m∑ ( n∑ )
a kl ξ l c k ,
k=1 l=1
} {{ }
≡: η k
mit dem Koordinatenvektor η :≡ ( η 1 . . . η m
) T:
y =
m∑
k=1
η k c k . (5.16)
Das Bild y = F x hat also den Koordinatenvektor
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
η 1 a 11 . . . a 1n ξ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ = ⎝ . . ⎠ ⎝ . ⎠ , (5.17)
η m a m1 . . . a mn ξ n
das heisst
η = Aξ . (5.18)
In Worten: Man erhält den Koordinatenvektor η des Bildes y = F x,
indem man die Abbildungsmatrix A auf den Koordinatenvektor ξ
von x anwendet.
Im Falle einer Selbstabbildung, wo X = Y und damit auch m = n
und {b 1 , . . . , b n } = {c 1 , . . . , c n } gilt, ist die Abbildungsmatrix A
quadratisch und die Koordinatenvektoren ξ und η in (5.18) beziehen
sich auf dieselbe Basis.
LA-Skript 5-4 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht