Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Die Summe der Diagonalelemente von A nennt man Spur [trace]
von A:
Spur A :≡ a 11 + a 22 + · · · + a nn . (9.13)
Lemma 9.4 Das charakteristische Polynom χ A hat die Form
χ A (λ) ≡: det (A − λI)
= (−λ) n + Spur A (−λ) n−1 + · · · + det A . (9.14)
Aus dem Vorangehenden folgt sofort:
Satz 9.5 λ ∈ E ist genau dann Eigenwert der Matrix A ∈ E n×n ,
wenn λ Nullstelle des charakteristischen Polynoms χ A ist, das
heisst eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist.
Das Polynom χ A hat natürlich reelle Koeffizienten, wenn A reell
ist (E = R); es hat komplexe Koeffizienten, wenn A komplex ist
(E = C). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein komplexes
(oder reelles) Polynom vom exakten Grad n genau n (im
allgemeinen komplexe) Nullstellen, falls man mehrfache Nullstellen
mehrfach zählt.
Das heisst man kann χ A , das den Höchstkoeffizienten (−1) n hat,
wie folgt in n Linearfaktoren zerlegen:
wobei λ k ∈ C, k = 1, . . . , n.
χ A (λ) = (λ 1 − λ)(λ 2 − λ) · · · (λ n − λ) ,
Ein reelles Polynom kann aber auch nicht-reelle Nullstellen haben.
Falls A reell ist, aber λ nicht reell ist, so sind auch die zugehörigen
Eigenvektoren nicht reell. (Denn wäre v ∈ R n und λ ∉ R, so wäre
Av ∈ R n , aber vλ ∉ R n .)
In der Eigenwerttheorie fasst man deshalb in der Regel relle Matrizen
als komplexe Matrizen auf, das heisst man lässt komplexe
Eigenwerte und komplexe Eigenvektoren zu. Deshalb setzen wir im
folgenden E = C voraus.
Es wird sich zeigen, dass die bereits definierte geometrische Vielfachheit
eines Eigenwertes λ nicht unbedingt gleich seiner Vielfachheit
als Nullstelle von χ A ist. Man definiert deshalb:
Definition: Die algebraische Vielfachheit [algebraic multiplicity]
eines Eigenwertes λ ist die Vielfachheit von λ als Nullstelle
des charakteristischen Polynoms.
Das Verhältnis zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit
wird in Abschnitt 9.4 diskutiert werden.
Wir können also bei kleinen Matrizen die Eigenwerte und Eigenvektoren
nach der folgenden Methode berechnen, die aber für grössere
Matrizen (n ≫ 3) unbrauchbar ist, weil zu aufwendig und zu starken
Rundungseffekten unterworfen.
LA-Skript 9-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht