Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 11 — Singulärwertzerlegung
Kapitel 11
Die Singulärwertzerlegung
In Kapitel 9 haben wir gesehen, dass man eine quadratische Matrix
durch geeignete Wahl der Basis in die Jordansche Normalform
bringen kann. Diese ist in der Regel diagonal, insbesondere stets
wenn alle Eigenwerte verschieden sind oder wenn die Matrix symmetrisch
oder Hermitesch ist. Im zweiten Falle kann man sogar die
Basis orthogonal bzw. unitär wählen.
Bei einer linearen Abbildung F : X → Y kann man dagegen Basen
in beiden Räumen wählen. Wie wir bereits in Satz 5.20 gesehen
haben, lässt sich so auf einfache Art erreichen, dass die Abbildungsmatrix
die Form
( )
Ir O
B =
. (11.1)
O O
hat. Insbesondere lässt sich jede m×n Matrix A durch zwei Koordinatentransformationen
S und T in eine Matrix
B = S −1 AT
dieser Form überführen. Aber die einzige Information, die in der
Matrix (11.1) noch enthalten ist, ist der Rang r der Abbildung.
Diese Form ist in gewissem Sinne zu einfach, als dass man damit
noch eine tiefe Einsicht in die Abbildung gewinnen könnte.
Wir werden in diesem Kapitel sehen, dass das ändert, wenn wir
nur orthogonale bzw. unitäre Koordinatentransformationen zulassen.
Es resultiert dann eine sowohl für theoretische Fragen als auch
in vielen Anwendungen äusserst nützliche Matrixfaktorisierung, die
Singulärwertzerlegung.
11.1 Die Singulärwertzerlegung: Herleitung
Gegeben sei irgend eine reelle oder komplexe m × n Matrix A. Die
Matrix A H A ∈ E n×n ist Hermitesch und positiv semidefinit. Sie hat
also reelle, nicht-negative Eigenwerte, sagen wir σk 2 (k = 1, . . . , n)
mit σ k ≥ 0, und eine orthonormale Eigenbasis {v 1 , . . . , v n }. Es gilt
also
A H AV = VΣ 2 n (11.2)
mit der unitären n×n Matrix
und der n×n Diagonalmatrix
V = ( v 1 · · · v n
)
Σ 2 n :≡ diag {σ 2 1, . . . , σ 2 n} .
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 11-1