Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
Wir zeigen als nächstes, dass die Zahl n der Basisvektoren eine
charakteristische Grösse des Vektorraumes ist.
Satz 4.7 Besitzt ein Vektorraum V ein endliches Erzeugendensystem,
so besteht jede Basis von V aus derselben Zahl von Vektoren.
Definition: Die Zahl der Basisvektoren (in jeder Basis) eines
Vektorraumes V mit endlichem Erzeugensystem heisst Dimension
[dimension] von V und wird mit dim V bezeichnet. Ein solcher
Raum ist also endlich-dimensional [finite dimensional]. Falls
dim V = n gilt, so sagt man, V sei n–dimensional [n–dimensional].
Bevor wir Satz 4.7 beweisen, betrachten wir einfache Beispiele:
Beispiel 4.24: P m hat die Standardbasis bestehend aus den m + 1
Monomen t ↦−→ t k (0 ≤ k ≤ m). Es ist also dim P m = m + 1.
Beispiel 4.25: Der Raum E n mit der in Beispiel 4.19 gegebenen Standardbasis
e 1 , . . . , e n hat natürlich die Dimension n, und zwar ist R n ein
n–dimensionaler reeller Vektorraum, C n ein n–dimensionaler komplexer
Vektorraum.
Fasst man C n als reellen Vektorraum auf (d.h. lässt man nur reelle Skalare
zu), so hat C n die Dimension 2n. Eine einfache Basis ist
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
0
0
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ , . . . , 0
⎜ ⎟,
⎝ . ⎠
0
1
} {{ }
n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
i
0
0
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ , . . . , 0
⎜ ⎟ .
⎝ . ⎠
0
i
} {{ }
n
Offensichtlich lässt sich jeder komplexe n-Vektor als Linearkombination
dieser 2n Vektoren schreiben, auch wenn nur reelle Koeffizienten zugelassen
sind; die Vektoren erzeugen also C n . Zudem sind sie offensichtlich
linear unabhängig.
Nun kommen wir zum Beweis von Satz 4.7. Er folgt sofort aus dem
Beweis von Lemma 4.6 und aus dem folgenden Lemma.
Lemma 4.8 Ist {b 1 , . . . , b m } ein Erzeugendensystem von V , so ist
jede Menge {a 1 , . . . , a l } ⊂ V von l > m Vektoren linear abhängig.
Beweis: Die a k lassen sich als Linearkombinationen von b 1 , . . . , b m
darstellen:
m∑
a k = τ ik b i (1 ≤ k ≤ l) . (4.24)
i=1
Wir betrachten nun das homogene lineare Gleichungssystem
l∑
τ ik ξ k = 0 (1 ≤ i ≤ m) (4.25)
k=1
bestehend aus m Gleichungen in l (> m) Unbekannten ξ k . Nach Korollar
1.5 besitzt es eine nichttriviale Lösung ( ξ 1 . . . ξ l
) T ≠ o ∈ E l .
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-13