Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 7 — Kleinste Quadrate, QR
Kapitel 7
Die Methode der kleinsten Quadrate
und die QR–Zerlegung einer Matrix
In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf den Vektorraum E m
mit dem Standardskalarprodukt aus Abschnitt 2.4. Alles gilt aber
sinngemäss für beliebige m-dimensionale Vektorräume mit Skalarprodukt,
wie sie in Kapitel 6 eingeführt worden sind.
In Abschnitt 2.5 haben wir schon die orthogonale Projektion auf
eine Gerade durch O, d.h. auf einen eindimensionalen Unterraum
betrachtet, nun wollen wir jene auf mehrdimensionale Unterräume
bestimmen und verschiedene Methoden zu deren Berechnung und
zur Lösung des entsprechenden Minimumproblems kennen lernen.
Dieses ist unter anderem als Problem der kleinsten Quadrate bekannt.
Dabei gehen wir nun von einer allgemeinen Definition der
Projektion aus.
7.1 Orthogonalprojektionen
Definition: Eine lineare Abbildung P : E m → E m heisst Projektion
[projection] oder Projektor [projector], falls
P 2 = P . (7.1)
Eine Projektion heisst Orthogonalprojektion [orthogonal projection]
oder orthgonaler Projektor [orthgonal projector], falls
zusätzlich gilt
ker P ⊥ im P , d.h. N (P) ⊥ R(P) . (7.2)
Andernfalls ist es eine schiefe [oblique] Projektion.
Bemerkung: Die Bedingung (7.1) entspricht der anschaulichen
Vorstellung einer Projektion: Übt man auf das Bild Py ∈ im P eines
beliebigen Punktes y nochmals dieselbe Projektion aus, so bleibt
Py “an Ort”: P(Py) = Py. Die Bedingung (7.2) wird anschaulich,
wenn man beachtet, dass y − Py ∈ ker P, weil wegen (7.1) gilt
P(y − Py) = Py − P 2 y = o.
Lemma 7.1 Ist P ein Projektor, so ist auch I − P ein Projektor
und es gilt:
im (I − P) = ker P , ker (I − P) = im P . (7.3)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 7-1