Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
b ′ l :≡
n∑
k=1
a kl b k (l = 1, . . . , n) (5.42)
eine “neue” Basis b ′ 1 , . . . , b′ n hervorgeht, d.h. genau dann, wenn b ′ 1 , . . . , b′ n
den ganzen Raum E n erzeugen (womit sie automatisch linear unabhängig
sind). Wir können b ′ l
als Bild von b l bei einer linearen Abbildung F
auffassen: F b l :≡ b ′ l , vgl. (5.14). Es ist dann span {b′ 1 , . . . , b′ n} = E n
gleichbedeutend mit Rang F = n, was gemäss Korollar 5.8 heisst, dass
F ein Automorphismus ist. Gemäss (5.42) ist auch Ab l = b ′ l
, also, wenn
man A als lineare Abbildung auffasst, A = F .
5.4 Affine Räume und die allgemeine Lösung
eines inhomogenen Gleichungssystems
Definition: Ist U ein echter Unterraum eines Vektorraumes V
und u 0 ∈ V , so heisst die Menge
u 0 + U :≡ {u 0 + u ; u ∈ U} (5.43)
ein affiner Teilraum [affine (sub)space].
Ist F : X → Y eine lineare Abbildung und y 0 ∈ Y , so ist
H : X → y 0 + Y , x ↦→ y 0 + F x (5.44)
eine affine Abbildung [affine mapping].
Beispiel 5.9: Jede Gerade und jede Ebene im R 3 ist ein affiner Teilraum,
auch wenn sie nicht durch den Ursprung verläuft. Eine Translation
x ↦→ y 0 + x ist eine spezielle affine Abbildung.
Man beachte, dass ein affiner Teilraum im allgemeinen kein Unterraum
ist, nämlich stets wenn u 0 ∉ U gilt. Ebenso ist eine affine
Abbildung nicht linear, wenn y 0 ≠ o ist, denn H(o) = y 0 ≠ o. Dies
gilt selbst, wenn y 0 ∈ im F ⊂ Y und damit das Bild im H = im F
ein Unterraum ist.
Allgemein ist im H = y 0 + im F ein affiner Teilraum.
Affine Teilräume und affine Abbildungen spielen eine grosse Rolle
bei geometrischen Aufgaben und Anwendungen. Wir betrachten
hier nur den Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen.
Satz 5.19 Es sei x 0 irgend eine Lösung des inhomogenen Systems
Ax = b, und es bezeichne L 0 den Lösungsraum des homogenen
Systems Ax = o. Dann ist die Lösungsmenge L b von Ax = b
gleich dem affinen Teilraum
L b = x 0 + L 0 . (5.45)
Mit anderen Worten: Die allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen
Gleichungssystems lässt sich darstellen als Summe einer speziellen
Lösung (Partikulärlösung) des Systems und der allgemeinen
Lösung des homogenen Systems.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-17