Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 5 — Lineare Abbildungen Lineare Algebra (2007)
Definition: Die n × n–Matrizen A und B heissen ähnlich [similar],
falls es eine reguläre Matrix T gibt, so dass eine der Beziehungen
(5.52) gilt (und damit auch die andere).
Der Übergang A ↦→ B = T −1 AT heisst Ähnlichkeitstransformation
[similarity transformation].
Beispiel 5.11: Wir betrachten den Ableitungsoperator D auf dem in
den Beispielen 4.21 und 4.30 von Kapitel 4 betrachteten Unterraum G 4
der geraden Polynome vom Höchstgrad 4. Er hat die monomiale Basis
1, t 2 , t 4 . Für jedes p ∈ G 4 ist die Ableitung p ′ ein ungerades Polynom
vom Höchstgrad 3, liegt also im entsprechenden Unterraum U 3 , der von
den zwei Monomen t und t 3 aufgespannt wird. Bezüglich diesen Basen
wird D : p ∈ G 4 ↦→ p ′ ∈ U 3 dargestellt durch die 2 × 3–Matrix
( ) 0 2 0
A =
, (5.53)
0 0 4
die man im übrigen auch aus der Matrix D in Beispiel 5.5 bekommt,
indem man die erste und die dritte Zeile sowie die zweite und die vierte
Kolonne streicht.
In G 4 ersetzen wir nun die monomiale Basis durch jene aus (4.17):
p 1 (t) :≡ 1 + t 2 , p 2 (t) :≡ 1 − t 2 , p 3 (t) :≡ 1 + t 2 + t 4 .
Diese Basistransformation wird durch die Matrix
⎛
⎞
T = ( )
1 1 1
τ ik = ⎝ 1 −1 1 ⎠
0 0 1
dargestellt, wie wir ja auch schon in (4.45) gesehen haben. (Zur Erinnerung:
In den Kolonnen stehen die Koordinaten der neuen Basis bezüglich
der alten Basis.)
In U 3 wählen wir als neue Basis
q 1 (t) :≡ t , q 2 (t) :≡ 3t + 2t 3 . (5.54)
Die entsprechende Transformationsmatrix und ihre Inverse sind
S = ( ( )
( )
) 1 3
σ ik = , S −1 1 −
3
=
2
1 . (5.55)
0 2
0
2
Um den Ableitungsoperator bezüglich den Basen {p 1 , p 2 , p 3 } von G 4 und
{q 1 , q 2 } von U 3 darzustellen, braucht man somit gemäss (5.50) die Abbildungsmatrix
B = S −1 A T
=
=
( 1 −
3
2
0
1
2
( 2 −2 −4
0 0 2
) ( 0 2 0
0 0 4
) ⎛ ⎝
1 1 1
1 −1 1
0 0 1
⎞
⎠
)
. (5.56)
LA-Skript 5-20 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht