Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
Satz 6.5 (Parsevalsche Formel) Unter den Voraussetzungen
von Satz 6.4 gilt mit ξ k :≡ 〈b k , x〉 und η k :≡ 〈b k , y〉 (k = 1, . . . , n):
〈x, y〉 =
n∑
ξ k η k = ξ H η = 〈ξ, η〉 , (6.24)
k=1
das heisst das Skalarprodukt zweier Vektoren in V ist gleich dem
(Euklidischen) Skalarprodukt ihrer Koordinatenvektoren im E n .
Insbesondere gilt:
‖x‖ = ‖ξ‖ , (6.25)
∢ (x, y) = ∢ (ξ, η) , (6.26)
x ⊥ y ⇐⇒ ξ ⊥ η . (6.27)
Beweis: Man stellt x und y mittels Formel (6.16) dar und wendet die
Eigenschaften (S1) und (S2) an:
〈 n∑
〈x, y〉 = ξ k b k ,
k=1
〉
n∑
η l b l
l=1
=
n∑
n∑
k=1 l=1
ξ k η l 〈b k , b l 〉 =
} {{ }
δ kl
n∑
ξ k η k .
k=1
Die drei weiteren Formeln folgen unmittelbar aufgrund der Definitionen
der auftretenden Grössen.
Noch haben wir nicht gezeigt, dass es in einem Vektorraum mit
Skalarprodukt immer eine orthonormierte Basis gibt. Dass dies bei
endlicher oder abzählbar-unendlicher Basis so ist, zeigt der folgende
Algorithmus von Gram-Schmidt 5 . Wir wissen aus Lemma 4.6 und
Satz 4.11, dass es in jedem Vektorraum eine Basis gibt. Der Algorithmus
erlaubt uns, diese durch eine orthogonale Basis zu ersetzen.
Algorithmus 6.1 (Gram–Schmidt–Orthogonalisierungsverfahren)
Es sei {a 1 , a 2 , . . . } eine endliche oder abzählbare, linear unabhängige
Menge von Vektoren. Wir berechnen eine gleich grosse
Menge {b 1 , b 2 , . . . } von Vektoren rekursiv gemäss
b 1 :≡ a 1
‖a 1 ‖ ,
˜bk
:≡ a k − ∑ k−1
j=1 〈b j, a k 〉 b j ,
b k :≡ ˜b k
‖˜b k ‖
⎫
⎪⎬
⎪⎭ (k = 2, 3, . . . ) . (6.28)
5 Jorgen Pedersen Gram (27.6.1850 – 29.4.1916), dänischer Versicherungsmathematiker.
Erhard Schmidt (14.1.1876 – 6.12.1959), aus dem Baltikum stammender
deutscher Mathematiker, Schüler von H.A. Schwarz und D. Hilbert; 1908 Professor
in Zürich, 1910 in Erlangen, 1911 in Breslau, 1917 in Berlin.
LA-Skript 6-8 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht