Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 7 — Kleinste Quadrate, QR Lineare Algebra (2007)
7.4 Die QR–Zerlegung mit Pivotieren
Wir haben bisher bei der in Abschnitt 7.3 mit dem klassischen
Gram–Schmidt–Verfahren berechneten QR–Zerlegung angenommen,
dass die m × n Ausgangsmatrix A Maximalrang n hat, also insbesondere
n ≤ m ist. In der Tat kann sonst das Verfahren (Algorithmus
7.1) zusammenbrechen, weil ˜q k = o sein kann, womit dann q k
nicht definiert ist. Dies kann schon für k ≤ Rang A eintreten, wie
die Beispiele
⎛
⎝
1 0 1
0 0 1
0 0 1
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
1 2 1
2 4 1
3 6 1
zeigen, wo der Rang zwei ist, aber ˜q 2 = o wird. Offensichtlich
müsste man hier die zweite und die dritte Kolonne vertauschen
um einen zweiten normierten Basisvektor q 2 ⊥ q 1 zu finden. Mit
anderen Worten, man muss Kolonnen-Pivotieren zulassen. Aber
wie findet man eine zum Vertauschen geeignete Kolonne?
Dazu modifizieren wir das Gram–Schmidt–Verfahren noch in anderer
Hinsicht: durch Vertauschen von Schleife und Summe in (7.29).
Algorithmus 7.2 (modifiziertes Gram-Schmidt-Verfahren
mit Kolonnen-Pivotieren) Es sei A = ( a 1 . . . a n
)
∈
E m×n . Man berechne:
q 1 := a 1
‖a 1 ‖ , ˜q i := a i − q 1 〈q 1 , a i 〉 (i = 2, . . . , n) ;
⎫
wähle p ≥ k mit ‖˜q p ‖ ̸= 0 und
vertausche Kolonnen p und k; berechne
q k := ˜q k
‖˜q k ‖ ,
⎪⎬
(k = 2, . . . , n) .
˜q i := ˜q i − q k 〈q k , ˜q i 〉 (i = k + 1, . . . , n);
ist ‖˜q k+1 ‖ = · · · = ‖˜q n ‖ = 0 ,
so gilt Rang A = k und man ist fertig
⎪⎭
⎞
⎠
(7.40)
Um zu beweisen, dass in exakter Arithmetik das modifizierte und
das klassisische Gram-Schmidt-Verfahren die gleichen Vektoren q k
erzeugen, müsste man zeigen, dass in (7.40) gilt: 〈q k , ˜q i 〉 = 〈q k , a i 〉.
Sind in Algorithmus 7.2 keine Kolonnenvertauschungen nötig, gilt
nach wie vor A = QR, wobei nun r ki :≡ 〈q k , ˜q i 〉 für k < i. Ist
Rang A < n, so werden Vertauschungen ausgeführt, und man hat
AP = QR (7.41)
mit einer m × m Permutationsmatrix P, der m × r Matrix Q :≡
(
q1 . . . q r
)
mit orthonormalen Kolonnen, die eine Basis von
im A = R(A) bilden, und einer rechteckigen, r × n Rechtsdreiecksmatrix
R. Dabei ist r :≡ Rang A.
LA-Skript 7-12 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht