Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
2.4 Das Skalarprodukt und die Norm von
Vektoren; Längen und Winkel
Ein n–Vektor x lässt sich als Ortsvektor im reellen (oder komplexen)
n–dimensionalen Euklidischen 8 Raum R n (bzw. C n ) auffassen,
das heisst als Pfeil, der den Ursprung O mit einem anderen Punkt
X = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) verbindet. Obwohl wir gewohnt sind Punkte
durch ein n-Tupel, d.h. einen Zeilenvektor zu bezeichnen, wollen
wir den Vektor von nun an als Kolonnenvektor
wählen.
x = ( x 1 x 2 . . . x n
) T
Die Vektoraddition entspricht offensichtlich dem Zusammensetzen
von Pfeilen und die Multiplikation mit einer Zahl einer Verlängerung
oder Verkürzung des Pfeiles. Das gilt im n–dimensionalen Raum genau
gleich wie im 2– und 3–dimensionalen Raum.
Geometrisch ist klar, was man im R n unter der (Euklidischen)
Länge ‖x‖ eines solchen Pfeiles versteht, und was der Winkel ϕ
zwischen zwei Pfeilen x und y ist.
Im R 2 gilt bekanntlich der Satz von Pythagoras 9
√
‖x‖ = x 2 1 + x 2 2 (2.43)
und der daraus folgende Cosinussatz
‖y − x‖ 2 = ‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 − 2‖x‖‖y‖ cos ϕ . (2.44)
Zum Beweis lesen wir aus einer Figur ab, dass mit
gilt
a :≡ ‖x‖ , b :≡ ‖y‖ , c :≡ ‖y − x‖
c 2 = (a − b cos ϕ) 2 + b 2 (sin ϕ) 2
= a 2 − 2ab cos ϕ + b 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
= a 2 + b 2 − 2ab cos ϕ ,
was mit (2.44) identisch ist. Falls ‖x‖ ̸= 0, ‖y‖ ̸= 0 ergibt sich
daraus
cos ϕ = ‖x‖2 + ‖y‖ 2 − ‖y − x‖ 2
. (2.45)
2‖x‖‖y‖
Wenn wir das übliche Skalarprodukt im R 2 definieren,
〈x, y〉 :≡ x 1 y 1 + x 2 y 2 ,
8 Euklid, genauer: Eukleides (um 300 v. Chr.), griechischer Mathematiker
in Alexandrien, oft fälschlich als Autor der “Elemente” betrachtet, des
Geometrie-Lehrbuchs, das über 2000 Jahre als Standard galt.
9 Pythagoras (ca. 580 – 500 v.Chr.), griechischer Mathematiker, Astronom,
Musikwissenschafter und Philosoph; ab ca. 530 in Kroton (Oberitalien)
Begründer seiner Schule.
LA-Skript 2-16 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht