Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
Beispiel 4.14: Die drei Funktionen t ↦−→ 1, cos 2 t, cos 2t ∈ C ∞ (R)
sind linear abhängig, denn
cos 2t = 2 cos 2 t − 1 .
Beispiel 4.15: Sowohl als formale Polynome als auch als reelle Funktionen
sind die m + 1 Monome t ↦−→ 1, t, t 2 , . . . , t m ∈ P m ⊂ C ∞ (R)
linear unabhängig, denn
m∑
γ k t k = o
k=0
impliziert γ 0 = γ 1 = . . . γ m = 0. Die Summe ist ja selbst ein Polynom
vom Grad ≤ m, muss also das Nullpolynom sein. Dieses kann man aber
nicht anders als Linearkombination der Monome 1, t, t 2 , . . . , t m darstellen,
als wenn alle Koeffizienten null sind.
Beispiel 4.16:
Sind die drei Polynome
p 1 (t) :≡ 1 + t 2 , p 2 (t) :≡ 1 − t 2 , p 3 (t) :≡ 1 + t 2 + t 4 (4.17)
wohl linear unabhängig? Aus der Bedingung, dass für alle t gilt
0 = γ 1 p 1 (t) + γ 2 p 2 (t) + γ 3 p 3 (t)
= γ 1 (1 + t 2 ) + γ 2 (1 − t 2 ) + γ 3 (1 + t 2 + t 4 )
= (γ 1 + γ 2 + γ 3 ) + (γ 1 − γ 2 + γ 3 )t 2 + γ 3 t 4 ,
folgt durch Koeffizientenvergleich (wir wissen aus Beispiel 4.15 ja, dass
die Monome 1, t 2 , t 4 linear unabhängig sind):
γ 1 + γ 2 + γ 3 = 0
γ 1 − γ 2 + γ 3 = 0 (4.18)
γ 3 = 0 .
Dies ist ein lineares Gleichungssystem. Ein Eliminationsschritt führt bereits
auf die LR–Zerlegung
⎛
⎝
1 1 1
1 −1 1
0 0 1
⎞
⎛
⎠ = ⎝
1 0 0
1 1 0
0 0 1
⎞ ⎛
⎠ ⎝
1 1 1
0 −2 0
0 0 1
⎞
⎠ , (4.19)
aus der man schliesst, dass die Matrix des 3 × 3–Systems (4.18) regulär
ist. Also hat das homogene System nur die triviale Lösung; das heisst
γ 1 = γ 2 = γ 3 = 0, was bedeutet, dass die Polynome p 1 , p 2 , p 3 linear
unabhängig sind.
Beispiel 4.17: Sind α 1 , α 2 , . . . , α n ∈ R paarweise voneinander verschieden,
so sind die Funktionen
linear unabhängig.
t ↦−→ e α 1t , e α 2t , . . . , e αnt ∈ C ∞ (R) (4.20)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-9