Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 7 — Kleinste Quadrate, QR Lineare Algebra (2007)
Es sollen x 1 und x 2 bestimmt werden durch Messung von y(t) zu den
Zeiten t = 1, 2, 3, 4 sec. Die Messreihe ergibt:
t 1 2 3 4 Sekunden
y(t) 13.0 35.5 68.0 110.5 Meter
.
Also ist
A =
⎛
⎜
⎝
1 1
2 4
3 9
4 16
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
y = ⎜
⎝
13.0
35.5
68.0
110.5
⎞
⎟
⎠ .
Für die Normalgleichungen brauchen wir:
A T A =
( 30 100
100 354
)
, A T y =
( 730.0
2535.0
)
.
Zu lösen ist also das Normalgleichungssystem
x 1 x 2 1
30 100 730.0
100 354 2535.0
.
das x 1 = 7.9355 . . . , x 2 = 4.9194 . . . ergibt und die Approximation 2x 2 =
9.8387... für die Erdbeschleunigung liefert.
7.3 Die QR–Zerlegung einer Matrix
Wir wollen in diesem Abschnitt das Gram–Schmidt–Verfahren im
Falle V = E m neu interpretieren und dann damit das Problem
der kleinsten Quadrate lösen. Gegeben sind also zunächst n linear
unabhängige Vektoren a 1 , . . . , a n , die wir als Kolonnen einer m×n–
Matrix A auffassen können. Statt b 1 , . . . , b n nennen wir die neu
konstruierten orthonormalen Vektoren q 1 , . . . , q n — wie schon in
den Abschnitten 7.1–7.2. Wir werden sie später als Kolonnen einer
m × n–Matrix Q auffassen. Diese Matrix wird also orthonormierte
Kolonnen haben, was heisst, dass
Q H Q = I n (falls E = C) bzw. Q T Q = I n (falls E = R).
(7.28)
Zur Erinnerung: nur wenn m = n ist, ist Q unitär oder orthogonal,
womit dann zusätzlich gilt: QQ H = I n bzw. QQ T = I n .
Wir schreiben zuerst das Gram–Schmidt–Verfahren für diese Situation
nochmals auf:
LA-Skript 7-8 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht