Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 5 — Lineare Abbildungen Lineare Algebra (2007)
(iii) Hier wird zusätzlich benützt, dass natürlich gilt:
A : E n → E m surjektiv ⇐⇒ im A = E m
⇐⇒ Rang A = m .
Im Falle von quadratische Matrizen ist vieles etwas einfacher, besonders
wenn sie regulär sind. Satz 5.16 vereinfacht sich so:
Korollar 5.17 Es seien A ∈ E m×m , B ∈ E m×m . Dann gilt:
(i) Rang BA ≤ min{Rang B, Rang A},
(ii) Rang B = m =⇒ Rang BA = Rang A,
(iii) Rang A = m =⇒ Rang BA = Rang B.
Im folgenden Satz fassen wir nochmals eine Reihe von gleichwertigen
Aussagen zusammen.
Satz 5.18 Für eine quadratische Matrix A ∈ E n×n sind folgende
Aussagen äquivalent:
(i) A ist invertierbar;
(ii) A ist regulär;
(iii) Rang A = n ;
(iv) die n Kolonnenvektoren von A sind linear unabhängig;
(v) die n Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig;
(vi) im A ≡ R(A) = E n ;
(vii) ker A ≡ N (A) = {o} ;
(viii) die lineare Abbildung A : E n → E n ist ein Automorphismus;
(ix) A ist die Transformationsmatrix einer Koordinatentransformation
in E n .
Beweis:
(i) ⇐⇒ (ii) auf Grund unserer Definition von “regulär”.
(ii) ⇐⇒ (iii) nach Korollar 1.4 und Satz 2.15.
(iii) ⇐⇒ (iv) ⇐⇒ (v) ergibt sich aus Satz 5.13 (iii) und (iv).
(iv) ⇐⇒ (vi), weil n Vektoren genau dann den E n erzeugen, wenn sie
linear unabhängig sind.
(iii) ⇐⇒ (vii) nach der Dimensionsformel (5.36); oder: weil beide Aussagen
äquivalent damit sind, dass Ax = o nur die triviale Lösung hat.
(iii) ⇐⇒ (viii) folgt aus Korollar 5.8 (iii) und Satz 5.13 (ii).
(viii) ⇐⇒ (ix) ist ziemlich klar, soll aber genauer betrachten werden:
A = ( a kl
)
ist Transformationsmatrix genau dann, wenn aus der “alten”
Basis b 1 , . . . , b n gemäss (4.38),
LA-Skript 5-16 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht