Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 7 — Kleinste Quadrate, QR Lineare Algebra (2007)
Beispiel 7.1: Wir wollen im R 4 orthogonal auf den 2-dimensionalen
Unterraum projizieren, der aufgespannt wird durch die Kolonnen der
Matrix
⎛ ⎞
4 6
A = ( ) a 1 a 2 = ⎜ 2 −2
⎟
⎝ 2 6 ⎠ . (7.7)
1 −7
Berechnen wir
(
A T 25 25
A =
25 125
so wird nach (7.4)
⎛
P A = 1
100
= 1
100
=
⎛
⎜
⎝
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
4 6
2 −2
2 6
1 −7
4 6
2 −2
2 6
1 −7
)
, (A T A) −1 = 1 ( 5 −1
100 −1 1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
( 5 −1
−1 1
( 14 12 4 12
2 −4 4 −8
0.68 0.24 0.40 0.00
0.24 0.32 0.00 0.40
0.40 0.00 0.32 −0.24
0.00 0.40 −0.24 0.68
) ( 4 2 2 1
6 −2 6 −7
⎞
)
)
, (7.8)
)
(7.9)
(7.10)
⎟
⎠ . (7.11)
Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die zwei Kolonnen a 1 und
a 2 gibt anderseits
‖a 1 ‖ = 5, q 1 = 1 ( ) T
5 4 2 2 1 ,
〈q 1 , a 2 〉 = 5, ˜q 2 = ( 2 −4 4 −8 ) T , (7.12)
‖˜q 2 ‖ = 10, q 2 = 1 ( ) T
5 1 −2 2 −4 ,
also die folgende Matrix Q mit orthonormalen Kolonnen:
⎛ ⎞
4 1
Q = ( ) 1
q 1 q 2 = ⎜ 2 −2
⎟
5 ⎝ 2 2 ⎠ . (7.13)
1 −4
Damit können wir P A = P Q nach (7.5) auch darstellen durch
⎛ ⎞
4 1
P A = P Q = 1 ( )
⎜ 2 −2
⎟ 4 2 2 1
25 ⎝ 2 2 ⎠
. (7.14)
1 −2 2 −4
1 −4
Man könnte dieses Produkt ausmultiplizieren, um wieder (7.11) zu erhalten,
aber je nach dem Verhältnis n : m und der Zahl der zu berechnenden
Matrix-Vektor-Produkte P A x ist es effizienter, den Projektor in
einer Produktform (7.9), (7.10) oder (7.14) zu belassen, wobei man im
allgemeinen (7.10) aus (7.9) am besten durch Lösen von n Gleichungssystemen
berechnen würde.
LA-Skript 7-4 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht