Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich
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<strong>Lineare</strong> <strong>Algebra</strong> (2007)<br />
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n<br />
Satz 2.1 Die Addition, die Multiplikation und die skalare Multiplikation<br />
von Matrizen (und Vektoren) haben die folgenden Eigenschaften,<br />
vorausgesetzt dass die Operationen definiert sind:<br />
(αβ)A = α(βA), (2.6)<br />
(αA)B = α(AB) = A(αB), (2.7)<br />
(α + β)A = (αA) + (βA), (2.8)<br />
α(A + B) = (αA) + (αB), (2.9)<br />
A + B = B + A (Add. kommutativ), (2.10)<br />
(A + B) + C = A + (B + C) (Add. assoziativ), (2.11)<br />
(AB)C = A(BC) (Mult. assoziativ), (2.12)<br />
(A + B)C = (AC) + (BC) (Add./Mult. distributiv),<br />
(2.13)<br />
A(B + C) = (AB) + (AC)<br />
(Add./Mult. distributiv),<br />
(2.14)<br />
Beweis: Die Eigenschaften (2.6) und (2.8)–(2.11) ergeben sich sofort<br />
aus entsprechenden Regeln für reelle und komplexe Zahlen und der Tatsache,<br />
dass die skalare Multiplikation und die Addition von Matrizen<br />
elementweise definiert sind, wobei natürlich vorausgesetzt werden muss,<br />
dass die in einer Regel auftretenden Matrizen die gleiche Grösse haben.<br />
Etwas zu zeigen bleibt also nur, wenn Matrizen-Multiplikationen auftreten<br />
wie in (2.7) und (2.12)–(2.14). Es ist zunächst zu verifizieren, dass<br />
jeweils die linke und die rechte Seite unter den gleichen Bedingungen an<br />
die Grösse der Matrizen definiert sind. Dann zeigt man, dass das (i, j)–<br />
Element links und rechts gleich ist. Für (2.7) ist dies einfach. Für die<br />
Assoziativität der Multiplikation (2.12) müssen wir annehmen, dass<br />
A ∈ E m×n , B ∈ E n×p , C ∈ E p×q .<br />
Dann ist<br />
((AB)C) ik<br />
=<br />
(A(BC)) ik<br />
=<br />
p∑<br />
p∑ n∑<br />
(AB) il c lk = a ij b jl c lk ,<br />
l=1<br />
n∑<br />
a ij (BC) jk =<br />
l=1 j=1<br />
n∑<br />
j=1<br />
j=1 l=1<br />
p∑<br />
a ij b jl c lk .<br />
Die zwei Summenzeichen darf man vertauschen, also sind die beiden<br />
Ausdrücke auf den rechten Seiten identisch.<br />
Für das erste Distributivgesetz (2.13) brauchen wir stattdessen<br />
und bekommen dann<br />
((A + B)C) ij<br />
=<br />
A ∈ E m×n , B ∈ E m×n , C ∈ E n×p ,<br />
=<br />
n∑<br />
(A + B) ik c kj =<br />
k=1<br />
n∑<br />
(a ik + b ik ) c kj<br />
k=1<br />
n∑<br />
(a ik c kj + b ik c kj ) =<br />
k=1<br />
n∑<br />
a ik c kj +<br />
k=1<br />
= (AC) ij + (BC) ij = (AC + BC) ij .<br />
n∑<br />
b ik c kj<br />
k=1<br />
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-7
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