Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Beweis: Es sei B = T −1 AT. Dann gilt für die charakteristischen Polynome
von A und B
χ B (λ) = det (B − λI)
= det (T −1 AT − λI)
= det (T −1 (A − λI) T)
= det T −1 det (A − λI)det T
= det (A − λI)
= χ A (λ)
Folglich stimmen nach Lemma 9.4 und Satz 9.5 die Determinanten von
A und B, ihre Spuren und ihre Eigenwerte inklusive der algebraischen
Vielfachheit überein.
Dass auch die geometrische Vielfachheit übereinstimmt, folgt schon aus
Lemma 9.1. Direkter sehen wir, dass aus Av = vλ folgt
T} −1 {{ A T}
} T{{ −1 v}
= } T{{ −1 v}
λ ,
= B ≡: w ≡: w
also Bw = wλ falls w :≡ T −1 v. Umgekehrt schliesst man genauso. Das
heisst es ist v Eigenvektor von A zum Eigenwert λ genau dann, wenn w
Eigenvektor von B zu λ ist. Kurz, wenn wir T und T −1 als Abbildungen
auffassen:
E λ (B) = T −1 E λ (A) , E λ (A) = TE λ (B) (9.20)
Da T regulär ist, folgt dim E λ (B) = dim E λ (A).
Gibt es in V eine Basis aus lauter Eigenvektoren (was nicht immer
der Fall ist), so ist die entsprechende Abbildungsmatrix diagonal:
Lemma 9.8 Eine zu F : V → V gehörende Abbildungsmatrix ist
genau dann diagonal, wenn die gewählte Basis von V aus lauter
Eigenvektoren von F besteht.
Beweis: Sind v 1 , . . . , v n Eigenvektoren, die eine Basis bilden, und sind
λ 1 , . . . , λ n die zugehörigen Eigenwerte, so hat F v l = λ l v l den Koordinatenvektor
(
0 · · · 0 λl 0 · · · 0 ) T
(mit λ l als l-ter Komponente), das heisst die Abbildungsmatrix ist Λ =
diag (λ 1 , . . . , λ n ), vgl. (5.14). Dieser Schluss ist zudem umkehrbar.
Definition: Eine Basis aus Eigenvektoren von F (oder A) heisst
Eigenbasis [eigen basis] von F (bzw. A).
Gibt es eine Eigenbasis v 1 , . . . , v n , so gilt also die einfache Abbildungsformel
x =
n∑
ξ k v k ↦−→ F x =
n∑
λ k ξ k v k . (9.21)
k=1
k=1
LA-Skript 9-10 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht