Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
⎛
⎜
⎝
cos φ 0 − sin φ 0 0
0 1 0 0 0
sin φ 0 cos φ 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
cos φ 0 sin φ 0 0
0 1 0 0 0
− sin φ 0 cos φ 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ = I 5 .
Givens–Rotationen werden in diversen Algorithmen eingesetzt als Bausteine
für kompliziertere orthogonale Transformationen. Manchmal werden
sie auch Jacobi–Rotationen 14 [Jacobi rotations] genannt.
Beispiel 2.27: Householder-Matrizen 15 [Householder matrices]
(oder: Householder-Spiegelungen [Householder reflections]) bilden
eine weitere spezielle Klasse orthogonaler Matrizen. Sie beschreiben die
Spiegelung an einer Hyperebene (Definition später), d.h. an einer Geraden,
falls n = 2, und an einer Ebene, wenn n = 3.
Es sei u ein reeller Kolonnenvektor der Länge 1, d.h. u T u = 1. Dann ist
das äussere Produkt uu T ja die n × n–Matrix mit (uu T ) ij = u i u j . Die
zu u gehörende Householder-Matrix ist
Q u :≡ I − 2uu T . (2.74)
Sie lässt sich offensichtlich durch die Projektion (2.62) auf die Richtung
u ausdrücken (wobei jetzt u reell und ‖u‖ = 1 ist):
Q u = I − 2 P u , wo P u :≡ uu T . (2.75)
P u und damit auch Q u ist symmetrisch. Wir zeigen nun, dass Q u auch
orthogonal ist. Wegen P 2 u = u(u T u)u T = uu T = P u , ist
Q T uQ u = Q 2 u = (I − 2 P u ) 2 = I − 4 P u + 4 P 2 u = I .
Hier noch ein Beispiel einer 4 × 4–Householder-Matrix:
Mit u = ( 4/5 −2/5 1/5 −2/5 ) T erhalten wir u T u = 1 und
P u = uu T = 1
25
⎛
⎜
⎝
Q u = I − 2 P u = 1 25
16 −8 4 −8
−8 4 −2 4
4 −2 1 −2
−8 4 −2 4
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ ,
−7 16 −8 16
16 17 4 −8
−8 4 23 4
16 −8 4 17
⎞
⎟
⎠ .
Beispiel 2.28: Permutationsmatrizen [permutation matrices] sind
quadratische Matrizen, die in jeder Kolonne und in jeder Zeile genau
eine Eins und sonst lauter Nullen haben. Zum Beispiel ist
14 Carl Gustav Jacobi (10.12.1804 – 18.2.1851), deutscher Mathematiker,
Professor in Königsberg und Berlin.
15 Alston Scott Householder (5.5.1904 – 4.7.1993), amerikanischer Mathematiker,
1946 – 1969 am Oak Ridge National Laboratory, ab 1948 Direktor
der Mathematics Division, Vorreiter der mathematischen Biologie und der numerischen
linearen Algebra.
LA-Skript 2-30 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht