Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
im allgemeinen eine Teilmenge von E m . Es ist aber immer o ∈ im A,
denn Ao = o.
Beispiel 2.23: Die Projektionsmatrix P y aus (2.62) ist eine n × n
Matrix, bildet also E n in sich ab. Wie wir gesehen haben, stellt sie eine
orthogonale Projektion auf die durch den Ursprung verlaufende Gerade
mit Richtung y dar. Das bedeutet insbesondere, dass das Bild im P y
gerade diese Gerade ist:
im P y = {αy ; α ∈ E} . (2.68)
2.7 Die Inverse einer Matrix
Zwei quadratische Matrizen gleicher Ordnung kann man immer zueinander
addieren, voneinander subtrahieren und miteinander multiplizieren.
Wir werden in diesem Abschnitt sehen, dass man sie oft,
aber nicht immer, auch in gewissem Sinne durcheinander dividieren
kann.
Vergleicht man n × n–Matrizen mit reellen oder komplexen Zahlen,
so nimmt die Nullmatrix O n bei der Matrizen-Addition die
Rolle der Null ein, und die Einheitsmatrix I n übernimmt bei der
Matrizen-Multiplikation die Rolle der Eins. Bei den Zahlen gibt es
zu jedem α ≠ 0 ein ξ, so dass α ξ = 1 = ξ αist. Gilt dies wohl
analog für quadratische Matrizen? Das heisst, gibt es zu A ≠ O n
eine n × n–Matrix X mit AX = I n = XA ? Ein einfaches Beispiel
zeigt, dass das nicht so ist: für
( ) 1 0
A =
0 0
folgt bei beliebiger Wahl von X
( 1 0
AX =
0 0
) ( )
x11 x 12
=
x 21 x 22
(
x11 x 12
0 0
)
≠ I 2
Definition: Eine n × n–Matrix A heisst invertierbar [invertible],
falls es eine n × n–Matrix X gibt, so dass AX = I n = XA
ist. Die Matrix X heisst Inverse [inverse] von A und wird mit A −1
bezeichnet:
A A −1 = I n = A −1 A . (2.69)
Beispiel 2.24: Es ist
( ) ( )
2 2 1 −1
1 2 − 1 =
2
1
( 1 0
0 1
)
=
( 1 −1
− 1 2
1
) ( 2 2
1 2
)
,
es ist also die eine Matrix die Inverse der anderen — und umgekehrt.
LA-Skript 2-26 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht