Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
vermerkt, ist R(A) ≡ im A gleich der Menge der b ∈ R m , für die
Ax = b eine Lösung x hat. Bei der Reduktion auf Zeilenstufenform
wird b durch c = L −1 Pb ersetzt, und anschliessend findet man alle
x zu einem festen b bzw. c durch Rückwärtseinsetzen. Dabei gibt es
zu jedem b, für das eine Lösung existiert, auch eine spezielle Lösung
x, in der alle freien Variablen null sind. Mit anderen Worten, wir
erhalten alle c und b auch, wenn wir in R bzw. A die Kolonnen
mit den freien Variablen streichen, das heisst, wenn wir nur die r
Pivotkolonnen behalten, mit denen wir eine m × r Matrix à bilden
können. Von diesen lässt sich anderseits keine streichen, ohne dass
die Menge zulässiger Vektoren b reduziert wird. Es gilt also:
Satz 5.15 Für den Kolonnenraum einer m × n–Matrix A gilt:
im A ≡ R(A) = R(Ã) = span {a n 1
, . . . , a nr } , (5.40)
à die dar-
worin a n1 , . . . , a nr die Pivotkolonnen von A sind, und
aus gebildete m × r–Matrix bezeichnet.
Beispiel 5.8: Wir setzen das oben behandelte Beispiel 5.7 fort. Gemäss
(5.37) ist r = 5 und sind x 1 , x 2 , x 4 , x 6 , x 7 die Pivotvariablen, also a 1 ,
a 2 , a 4 , a 6 , a 7 die Pivotkolonnen von A. Sie bilden gemäss (5.40) eine
Basis des Kolonnenraumes und ergeben zusammen die Matrix Ã:
⎛
⎞
1 0 0 0 0
1 5 3 1 0
1 10 11 6 3
à =
0 5 18 18 12
. (5.41)
⎜ 0 0 5 24 16
⎟
⎝ 1 10 21 24 16 ⎠
0 5 13 24 17
Wir werden in Abschnitt 7.4 eine weitere Methode zur Konstruktion
einer Basis von R(A) kennen lernen, die direkt eine orthogonale
Basis liefert. Sie ist im praktischen Rechnen vorzuziehen.
Allgemeine Aussagen über den Rang eines Produktes AB ergeben
sich sofort aus Lemma 5.3, Korollar 5.10 und Satz 5.13 (ii):
Satz 5.16 Es seien A ∈ E m×n , B ∈ E p×m . Dann gilt:
(i) Rang BA ≤ min{Rang B, Rang A},
(ii) Rang B = m (≤ p) =⇒ Rang BA = Rang A,
(iii) Rang A = m (≤ n) =⇒ Rang BA = Rang B.
Beweis:
(i) ergibt sich aus den genannten Aussagen.
(ii) Bei der Anwendung von Korollar 5.10 benütze man noch, dass nach
Satz 5.6 und Satz 5.12 folgt
B : E m → E p injektiv ⇐⇒ ker B = {o}
⇐⇒ Rang B = m .
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-15