Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Schliesslich wird die Formel (3.12) für das Rückwärtseinsetzen ersetzt
durch (1.27), das heisst
(
)
n∑
x nk := b (k−1)
k
− a (k−1) 1
ki
x i , (3.38)
i=n k +1 a (k−1)
k,n k
Nun ist es nicht mehr schwierig nachzuprüfen, dass mit diesen Definitionen
Satz 3.1 mit geringen Aenderungen weiterhin gilt:
Satz 3.3 Angewandt auf ein beliebiges m × n–System Ax = b
liefert die Gauss-Elimination eine die Zeilenvertauschungen beschreibende
m × m–Permutationsmatrix P, eine m × n Zeilenstufenmatrix
R des reduzierten Systems und eine entsprechende
rechte Seite c ∈ E m sowie, durch Zusammenziehen der Zeilenmultiplikatoren
l kj , eine reguläre m × m Linksdreiecksmatrix L, wobei
gilt
PA = LR , Lc = Pb , Rx = c . (3.39)
Ist die LR–Zerlegung PA = LR einmal berechnet, so lässt sich
irgend ein System mit Koeffizientenmatrix A lösen durch Auflösen
von Lc = Pb nach c (Vorwärtseinsetzen) und Auflösen von Rx =
c nach x (Rückwärtseinsetzen). Beim letzteren sind allfällige freie
Variablen (x k mit Indizes k ≠ n j (∀j)) frei wählbar.
Im Fall Rang A = r < m lässt sich die LR–Zerlegung von Satz 3.3
vereinfachen: da alle Elemente der letzten m − r > 0 Zeilen von
R null sind und im Produkt LR auf die Elemente in den letzten
m − r Kolonnen von L treffen, kann man sowohl diese Kolonnen
als auch die Nullzeilen von R wegstreichen. Dabei wird R zu einer
r × n–Matrix ˜R und L zu einer m × r–Matrix ˜L, wobei gilt
˜L ˜R = L R = P A .
Das liefert das folgende Korollar von Satz 3.3:
Korollar 3.4 Zu jeder m × n–Matrix A mit Rang r gibt es eine
m × r–Matrix ˜L mit Einsen in der Diagonalen, eine r × n–Matrix
˜R in Zeilenstufenform und eine m×m–Permutationsmatrix P, so
dass
˜L ˜R = P A . (3.40)
Auch mit dieser Zerlegung ist Ax = b natürlich äquivalent zu
˜L ˜R x = P b und kann deshalb durch Vor- und Rückwärtseinsetzen
gelöst werden. Nun ist zuerst das m×r–System ˜L ˜c = P b zu lösen.
Weil r < m ist, ist das aber nicht immer möglich. Die ersten r Gleichungen
ergeben ˜c eindeutig durch Vorwärtseinsetzen. Die restlichen
m − r Gleichungen sind die Verträglichkeitsbedingungen. Nun
treten die Verträglichkeitsbedingungen also bereits beim Vorwärtseinsetzen
auf. Falls sie erfüllt sind, können alle Lösungen aus dem
r×n–System ˜R x = ˜c durch Rückwärtseinsetzen bestimmt werden,
wobei hier wieder die freie Variablen wählbar sind, wenn n > r ist.
LA-Skript 3-10 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht